`a)`

Ta có:`AH⊥BD(g``t)`

         `CK⊥BD(g``t)`

`⇒AH////CK(` từ `⊥` đến `////)`

Vì `ABCD` là hình bình hành 

`⇒AD=BC(` tính chất hình bình hành `)`

    `AD////BC(` tính chất hình bình hành `)`

Vì `AD////BC(cmt)`

`⇒hat{D_1}=hat{B_1}(2` góc so le trong `)`

Xét `2Δ` vuông `AHD` và `CKB` có:

               `AD=BC(cmt)`

             `hat{D_1}=hat{B_1}(cmt)`

`⇒ΔAHD=ΔCKB(` cạnh huyền-góc nhọn `)`

`⇒AH=CK(2` cạnh tương ứng `)`

Xét tứ giác `AHCK` có:

      `AH////CK(cmt)`

      `AH=CK(cmt)`

`⇒` tứ giác `AHCK` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)(đpcm)`

`b)`

Vì tứ giác `AHCK` là hình bình hành

`⇒AK////HC(` tính chất hình bình hành `)`

Mà `M∈AK,N∈HC`

`⇒AM////NC`

Vì `AD////BC(cmt)`

Mà `N∈AD,M∈BC`

`⇒AN////CM`

Xét tứ giác `ANCM` có:

    `AM////NC(cmt)`

    `AN////CM(cmt)`

`⇒` tứ giác `ANCM` là hình bình hành `(` tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành `)`

`⇒AN=CM(` tính chất hình bình hành `)(đpcm)`

`c)`

Vì tứ giác `AHCK` là hình bình hành

`⇒HK` cắt `AC` tại trung điểm của `HK(` tính chất hình bình hành `)`

Mà `O` là trung điểm của `HK`

`⇒O` là trung điểm của `AC`

Vì tứ giác `ANCM` là hình bình hành

`⇒AC` cắt `MN` tại trung điểm của `AC(` tính chất hình bình hành `)`

Mà `O` là trung điểm của `AC`

`⇒O` là trung điểm của `MN`

`⇒O,M,N` thẳng hàng `(đpcm)`