Đáp án:

Giải thích các bước giải:

ABCFGNOE

( Hình hơi bị lệch một xíu, tam giác không chính xác lắm nha)

a) Do tam giác ABC đều và M, N lần lượt là trung điểm của AB,BC⇒\hept{OM⊥ABON⊥BC⇒ˆOMB=ˆONB=90oAB,BC⇒\hept{OM⊥ABON⊥BC⇒OMB^=ONB^=90o

Xét tứ giác BMON có: ˆOMB+ˆONB=180oOMB^+ONB^=180o suy ra tứ giác BMON là tứ giác nội tiếp (tứ giác cỏ tổng 2 góc đối bằng 180^o
b) Do O là trọng tâm tam giác ABC(giả thiết) suy ra ON=OA2=R2ON=OA2=R2( tính chất đường trung tuyến).
Mặt khác, OG=ON+NG⇒NG=OG−ON=R−R2=R2OG=ON+NG⇒NG=OG−ON=R−R2=R2
Vậy NO=NG=R2(đpcm)NO=NG=R2(đpcm)

c) Gọi E=ECΩPNE=ECΩPN ta có: OC⊥ABOC⊥AB (do tam giác ABC đều); NO//ABNO//AB( NP là đường trung bình của tam giác ABC) 

⇒OC⊥NP⇒OC⊥NP tại E => tam giác OEF vuông tại E.
Xét tam giác ONC vuông tại N có đường cao NE ta có: ON2=OE.OC⇒OE=ON2OC=R4ON2=OE.OC⇒OE=ON2OC=R4 (hệ thức lượng)
Xét tam giác vuông OEF có: sinˆOFE=sinˆOFP=OEOF=R4R=14⇒ˆOFP≈14O28′.