Đáp án:

Câu 18: $C.\ \dfrac{2\pi a^3}{3}$

Câu 19: $A.\ \dfrac32$

Câu 20: $C.\ \dfrac{27}{64}$

Giải thích các bước giải:

Câu 18:

Sửa đề: Diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(P)$ và khối nón bằng $\dfrac{\pi a^2}{4}$

Gọi $(P)\cap SO = I$

$\Rightarrow I$ là tâm thiết diện

Gọi $r$ là bán kính thiết diện, ta có:

$\quad S_{td} = \dfrac{\pi a^2}{4}$

$\Leftrightarrow \pi r^2 = \dfrac{\pi a^2}{4}$

$\Rightarrow r = \dfrac{a}{2}$

Ta có:

Thiết diện song song mặt đáy

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\quad \dfrac{SI}{SO} = \dfrac{r}{R}$

$\Leftrightarrow R = \dfrac{SO}{SI}\cdot r$

$\Leftrightarrow R = \dfrac{2a}{a}\cdot \dfrac{a}{2}$

$\Leftrightarrow R = a$

Khi đó:

$\quad V = \dfrac13S_{đ}.SO$

$\Leftrightarrow V = \dfrac13\cdot \pi a^2\cdot 2a$

$\Leftrightarrow V = \dfrac{2\pi a^3}{3}$

Câu 19:

Gọi $A, B$ là giao điểm của $(\alpha)$ và mặt đáy

$\Rightarrow \triangle SAB$ cân tại $S$ là thiết diện tạo bởi $(\alpha)$ và khối nón tròn xoay

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow IM\perp AB\quad$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

Ta có:

$\begin{cases}SI\perp AB\\IM\perp AB\end{cases}$

$\Rightarrow AB\perp (SIM)$

Trong $mp(SIM)$ kẻ $IH\perp SM$

$\Rightarrow AB\perp IH$

$\Rightarrow IH\perp (SAB)$

$\Rightarrow IH = d(I:(SAB)) = d(I;(\alpha))$

$\Rightarrow \widehat{(SI;(\alpha))} = \widehat{(SI;(SAB))} = \widehat{ISH}$ 30^\circ$

$\Rightarrow \begin{cases}SM = \dfrac{SI}{\cos\widehat{ISM}} = \dfrac{h}{\cos30^\circ} = \dfrac{2h}{\sqrt3}\\IM = SI.\tan\widehat{ISM} = h.\tan30^\circ = \dfrac{h}{\sqrt3}\end{cases}$

Áp dụng đính lý $Pythagoras$ ta được:

$\quad IA^2 = IM^2 + AM^2$

$\Rightarrow AM = \sqrt{IA^2 - IM^2} = \sqrt{h^2 -\dfrac{h^2}{3}}$

$\Rightarrow AM = \dfrac{h\sqrt2}{\sqrt3}$

$\Rightarrow AB = 2AM = \dfrac{2h\sqrt2}{\sqrt3}$

Ta có:

$\quad S_{SAB} = 6\sqrt2$

$\Leftrightarrow \dfrac12AB.SM = 6\sqrt2$

$\Leftrightarrow \dfrac12\cdot \dfrac{2h\sqrt2}{\sqrt3}\cdot \dfrac{2h}{\sqrt3} = 6\sqrt2$

$\Leftrightarrow h^2 = 9$

$\Rightarrow h = SI = 3$

$\Rightarrow IH = SI.\sin\widehat{ISH} = 3\cdot \sin30^\circ = \dfrac32$

Câu 20:

Gọi $O, I,\ R,\ R_1$ lần lượt là tâm đường tròn đáy, tâm thiết diện, bán kính đáy và bán kính thiết diện

Ta có:

$OI = \dfrac h4 \Rightarrow SI = \dfrac{3h}{4}$

Thiết diện song song mặt đáy

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\quad \dfrac{SI}{SO} = \dfrac{R_1}{R}$

$\Leftrightarrow \dfrac{R_1}{R} = \dfrac{\dfrac{3h}{4}}{h}$

$\Leftrightarrow \dfrac{R_1}{R} = \dfrac{3}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{R_1^2}{R^2}= \dfrac{9}{16}$

$\Leftrightarrow \dfrac{R_1^2}{R^2}\cdot \dfrac{SI}{SO} = \dfrac{27}{64}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac13\pi R_1^2SI}{\dfrac13\pi R^2SO} = \dfrac{27}{64}$

$\Leftrightarrow \dfrac{V_1}{V} = \dfrac{27}{64}$