`1)` $BE;CF$ là hai đường cao cắt nhau tại $H$ của $∆ABC$

`=>\hat{AEH}=\hat{AFH}=90°`

`=>\hat{AEH}+\hat{AFH}=90°+90°=180°`

Mà hai góc `\hat{AEH};\hat{AFH}` ở vị trí đối nhau

`=>AEHF` nội tiếp (đpcm)

$\\$

`2)` Gọi $I$ là trung điểm $AH$

`=>EI;FI` lần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông $∆AEH;∆AFH$

`=>EI=AI=HI=1/ 2 AH=FI`

`=>I` là tâm đường tròn ngoại tiếp $AEHF$ bán kính `IE=IF=1/ 2 AH` `(1)`

$\\$

Vì $AI=EI$

`=>∆AEI` cân tại $I$

`=>\hat{IAE}=\hat{IEA}`

Mà `\hat{IEA}+\hat{IEH}=\hat{AEH}=90°`

`=>\hat{IAE}+\hat{IEH}=90°` $(2)$

$\\$

Vì $M$ là trung điểm $BC$

`=>EM` là trung tuyến $∆BCE$ vuông tại $E$

`=>EM=BM=1/ 2 BC`

`=>∆MBE` cân tại $M$

`=>\hat{MBE}=\hat{MEB}`

$\\$

Ta có: `\hat{MBE}=\hat{IAE}` (cùng phụ `\hat{ACD}`) 

`=>\hat{MEB}=\hat{IAE}` $(3)$

Từ `(2);(3)=>\hat{MEB}+\hat{IEH}=90°`

`=>\hat{MEI}=90°`

`=>ME`$\perp IE$ $(4)$

Từ `(1);(4)=>ME` là tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$

$\\$

Tương tự chứng minh được:

`\qquad \hat{MFI}=90°`

`=>MF`$\perp IF$

`=>MF` là tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn ngoại tiếp $AEHF$

Vậy $ME; MF$ là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AEHF$