Cho phương trình `ax^2 + bx + c = 0` có các hệ số `a, b ,c` là các số nguyên lẻ . Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số
Cho phương trình `ax^2 + bx + c = 0` có các hệ số `a, b ,c` là các số nguyên lẻ . Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ .
Lời giải 1 :
Vì $a$ là số nguyên lẻ nên $a\ne 0$ nên phương trình này là phương trình bậc hai
Phương trình có nghiệm khi $\Delta\ge 0\Rightarrow b^2-4ac\ge 0$
Lúc này phương trình có nghiệm dạng:
$\left[ \begin{array}{l} {x_1} = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\\ {x_2} = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} \end{array} \right.$
Để phương trình có nghiệm là số hữu tỉ thì $\Delta$ là số chính phương do các hệ số $a,b,c$ là số nguyên lẻ.
$\Rightarrow b^2$ là số nguyên lẻ.
$\begin{array}{l} b = 2k + 1 \Rightarrow {b^2} = {\left( {2k + 1} \right)^2}\\ = 4{k^2} + 4k + 1\\ = 4k\left( {k + 1} \right) + 1 \equiv 1\left( {\bmod 8} \right) \end{array}$
Vậy với mọi số chính phương lẻ chia $8$ dư 1
Từ đó ta đặt được $b^2=8k+1(k\in \mathbb{Z})$
Vì $a,c$ là số nguyên lẻ nên $ac$ lẻ
Đặt $ac=2u-1$ thì:
$\begin{array}{l} \Delta = {b^2} - 4ac = 8k + 1 - 4\left( {2u - 1} \right) = 8k - 8u + 5\\ = 8\left( {k - u} \right) + 5 \equiv 5\left( {\bmod 8} \right) \end{array}$
Mà theo bổ đề trên thì mọi số nguyên lẻ chia $8$ dư 1 nên ta có $\Delta$ không là số chính phương từ đó $\sqrt{\Delta}$ là số vô tỉ nên phương trình có nghiệm không thể là số hữu tỉ.
Thảo luận
Có thể bạn quan tâm
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự 9
Lớp 9 - Là năm cuối ở cấp trung học cơ sở, sắp phải bước vào một kì thi căng thẳng và sắp chia tay bạn bè, thầy cô và cả kì vọng của phụ huynh ngày càng lớn mang tên "Lên cấp 3". Thật là áp lực nhưng các em hãy cứ tự tin vào bản thân là sẻ vượt qua nhé!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK