`a,` Xét `(O)` có:

`Ax` là tiếp tuyến, `A` là tiếp điểm `⇒OA\botAx`

`⇒\hat{xAO}=90^o` Hay `\hat{EAO}=90^o`

`EF` là tiếp tuyến, `C` là tiếp điểm `⇒OC\botEF`

`⇒\hat{ECO}=\hat{FCO}=90^o` 

Có `\hat{ECO}=\hat{EAO}=90^o` 

Hai điểm `C` và `A` cùng nhìn `EO` dưới một góc vuông

`⇒` Hai điểm `C` và `A` cùng thuộc đường tròn đường kính `EO`

`⇒` Bốn điểm `A,O,C,E` cùng thuộc đường tròn đường kính `EO`

Tâm `I` của đường tròn là trung điểm của `EO`

`b,` Xét `(O)`, đường kính `AB` có: `C\in(O)` 

`⇒\hat{ACB}=90^o` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`⇒AC\botMB`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABC` vuông tại `C` `(\hat{ACB}=90^o)` có:

`AB^2=AC^2+BC^2`

Hay `(2R)^2=AC^2+(R\sqrt{3})^2`

`⇔4R^2=AC^2+3R^2`

`⇔AC^2=4R^2-3R^2`

`⇔AC^2=R^2`

`⇒AC=R` `\text{(vì}` `AC>0)`

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong `ΔABC` vuông tại `C` `(\hat{ACB}=90^o)` có:

`sin\hat{ABC}={AC}/{BC}={R}/{2R}=1/2`

`c,` Xét `(O)` có:

`+Ax,EF` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `E`

`A, C` là hai tiếp điểm

`⇒AE=CE,OE` là phân giác `\hat{COA}`

`+By,EF` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `F`

`F, C` là hai tiếp điểm

`⇒BF=CF,OF` là phân giác `\hat{COB}`

Mà `\hat{COA}` và `\hat{COB}` là hai góc kề bù

`⇒OE\botOF⇒\hat{EOF}=90^o`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔEOF` vuông tại `O` `(\hat{EOF}=90^o)` `,OC\botEF` `(cmt)` có:

`OC^2=CE.CF`

Mà `OC=R` `,AC=CE` `(cmt)` `,BF=CF` `(cmt)`

`⇒AE.BF=R^2`

`d,` `AC\botMB` `(cmt)`

`⇒\hat{ACM}=90^o`

Xét `ΔEAC` có: `EA=EC` `(cmt)`

`⇒ΔEAC` cân tại `E`

`⇒\hat{ECA}=\hat{EAC}` Hay `\hat{ECA}=\hat{MAC}`

Xét `ΔACM` vuông tại `C` `(\hat{ACM}=90^o)` có:

`\hat{MAC}+\hat{CMA}=90^o` (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Hay `\hat{MAC}+\hat{CME}=90^o`

Có `\hat{MCE}+\hat{ECA}=\hat{MCA}=90^o`

Mà `\hat{ECA}=\hat{MAC}` `(cmt)`

`⇒\hat{CME}=\hat{MCE}`

Xét `ΔMCE` có: `\hat{CME}=\hat{MCE}` `(cmt)`

`⇒ΔMCE` cân tại `E`

`⇒EC=EM`

Mà `AE=CE` `(cmt)`

`⇒AE=EM`

`⇒E` là trung điểm của `AM`