Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)m + 5 \ne 0\\
 \Leftrightarrow m \ne  - 5\\
Vậy\,m \ne  - 5\\
b)m + 5 > 0\\
 \Leftrightarrow m >  - 5\\
Vậy\,m >  - 5\\
c)A\left( {2;3} \right) \in y = \left( {m + 5} \right).x + 2m - 10\\
 \Leftrightarrow 3 = \left( {m + 5} \right).2 + 2m - 10\\
 \Leftrightarrow 2m + 10 + 2m - 10 = 3\\
 \Leftrightarrow 4m = 3\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{4}\\
Vậy\,m = \dfrac{3}{4}\\
d)\left( {0;9} \right) \in y = \left( {m + 5} \right).x + 2m - 10\\
 \Leftrightarrow 9 = \left( {m + 5} \right).0 + 2m - 10\\
 \Leftrightarrow 2m - 10 = 9\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{19}}{2}\\
Vậy\,m = \dfrac{{19}}{2}\\
e)\left( {10;0} \right) \in y = \left( {m + 5} \right).x + 2m - 10\\
 \Leftrightarrow 0 = \left( {m + 5} \right).10 + 2m - 10\\
 \Leftrightarrow 10m + 50 + 2m - 10 = 0\\
 \Leftrightarrow 12m =  - 40\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 10}}{3}\\
Vậy\,m = \dfrac{{ - 10}}{3}\\
f)\left( d \right)//y = 2x - 1\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 5 = 2\\
2m - 10 \ne  - 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m =  - 3\\
m \ne \dfrac{9}{2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow m =  - 3\\
Vậy\,m =  - 3
\end{array}$

g) Gọi điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua là 

$\begin{array}{l}
M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\\
 \Leftrightarrow {y_0} = \left( {m + 5} \right).{x_0} + 2m - 10\forall m\\
 \Leftrightarrow \left( {{x_0} + 2} \right).m = {y_0} - 5{x_0} + 10\forall m\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} + 2 = 0\\
{y_0} - 5{x_0} + 10 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} =  - 2\\
{y_0} = 5{x_0} - 10 =  - 20
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow M\left( { - 2; - 20} \right)
\end{array}$

Vậy điểm cố định là $M\left( { - 2; - 20} \right)$

h) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O xuống đường thẳng

=> OH là khoảng cách từ O đến d

Trong tam giác vuông OHM tại H, ta có OM là cạnh huyền

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow OH \le OM\\
 \Leftrightarrow GTLN:OH = OM\,khi:H \equiv M\\
 \Leftrightarrow OM \bot d\\
Goi:OM:y = a.x\\
Do:M\left( { - 2; - 20} \right)\\
 \Leftrightarrow  - 20 = a.\left( { - 2} \right)\\
 \Leftrightarrow a = 10\\
 \Leftrightarrow OM:y = 10x\\
Do:OM \bot d\\
 \Leftrightarrow 10.\left( {m + 5} \right) =  - 1\\
 \Leftrightarrow m + 5 =  - \dfrac{1}{{10}}\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 1}}{{10}} - 5 = \dfrac{{ - 51}}{{10}}\\
Vậy\,m = \dfrac{{ - 51}}{{10}}
\end{array}$