a) Xét $\triangle$HBD và $\triangle$KCE có:

$\widehat{B1}$ = $\widehat{C2}$ (đối đỉnh)

BD = CE

$\widehat{C1}$ = $\widehat{C2}$ (đối đỉnh)

Vậy $\triangle$HBD = $\triangle$KCE (g.c.g)

`=>` HB = CK (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

Mà $\widehat{B1}$ = $\widehat{C1}$ `=>` $\widehat{B2}$ = $\widehat{C2}$

b) $\widehat{ABH}$ = `180^o` - $\widehat{B1}$ ; $\widehat{ACK}$ = `180^o` - $\widehat{C1}$ 

Mà $\widehat{B1}$ = $\widehat{C1}$ `=>` $\widehat{ABH}$ = $\widehat{ACK}$

Xét $\triangle$AHB và $\triangle$AKC có:

HB = CK (cmt)

AB = AC (gt)

$\widehat{ABH}$ = $\widehat{ACK}$ (cmt)

Vậy $\triangle$AHB = $\triangle$AKC (c.g.c)

`=>` AH = AK (2 cạnh tương ứng)

c) Do $\triangle$AHB = $\triangle$AKC

`=>` $\widehat{AHB}$ = $\widehat{AKC}$

Ta có AH = AK

`=>` $\triangle$AHK cân ở A

Ta có $\widehat{HBD}$ = $\widehat{ADE}$ (cùng phụ với $\widehat{HDB}$ )

`=>` BC // DE hay HK // DE

d) Xét $\triangle$AHE và $\triangle$AKD có
AH = AK

AE = AD

$\widehat{HAE}$ = $\widehat{KAD}$

`=>` $\triangle$AHE = $\triangle$AKD (c.g.c) (đpcm)

Giải thích các bước giải:

 `a)`

Xét `ΔABC` cân tại `A` có:

`AB=AC`

`\hat{ABC}=\hat{ACB}`

Lại có :

`\hat{ABC} = \hat{HBD} , \hat{ACB} = \hat{KCE}` (Vì là góc đối đỉnh)

`=>` `\hat{HBD} = \hat{KCE}`

Xét `ΔBHD` và `ΔCKE` có :

$BD=CE (gt)$

`\hat{HBD} = \hat{KCE} (cmt)`

`\hat{DHB} = \hat{EKC} = 90^@` $(gt)$

`=>` `ΔBHD = ΔCKE (ch-gn)`

`=>` `BH = CK (dpcm)`

`b)`

Xét `ΔABH` và  `ΔACK` có :

`AB=AC` $(gt)$

`BH = CK (cmt)`

`\hat{ABH} = \hat{ACK}` (Cùng bù với 2 góc bằng nhau là `\hat{ABC}` và `\hat{ACB}` )

`=>` `ΔABH = ΔACK` `(c-g-c)`

`=>` `\hat{AHB} = \hat{AKC}` `,` `\hat{BHA} = \hat{CAK}` (2 góc tương ứng)

Vậy `\hat{AHB} = \hat{AKC}` `(dpcm)`

`c)`

Xét `ΔABC` cân tại `A` có :

`=>` `\hat{ABC} = \hat{ACB}` `=` `\frac{180^@ - \hat{CAB}}{2}` 

Có :

`\hat{ADE} = \hat{ABC}` `,` `\hat{ACB} = \hat{AED}` `(= \frac{180^@ - \hat{CAB}}{2} )`

Mà các góc ở vị trí đồng vị

`=>` `BC║ED.` Mà `H ∈ BC, K ∈ BC`

`=>` `HK║ED` `(dpcm)`

`d)`

Có `\hat{BAH} = \hat{CAK}` `(cmt)`

`=>` `\hat{BAH} + \hat{BAE} = \hat{CAK} + \hat{BAE}`  

`<=>` `\hat{HAE} = \hat{KAD}`

Xét `ΔAHE` và `ΔAKD` có :

`\hat{HAE} = \hat{KAD}` `(cmt)`

`AH = AK` (do `ΔABH` `=` `ΔACK` ) `(cmt)`

`AD = AE` `(cmt)`

`=>` `ΔAHE = ΔAKD` `(c-g-c)`