Đáp án:

$1)\quad D.\ 4\sqrt3$

$2)\quad C.\ \dfrac{32}{3}$

$3)\quad A.\ \dfrac{64\sqrt2}{3}$

$4)\quad D.\ 4\sqrt3$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là tâm của đáy hình vuông $ABCD$ cạnh $2a$

$\Rightarrow \begin{cases}AC = BD = 2a\sqrt2\\OA = OB = OC = OD = a\sqrt2\end{cases}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $ABCD:\ r = a\sqrt2$

Chiều cao $h = SA$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD:\ R = \sqrt{r^2 + \dfrac{h^2}{4}}$

$1)\quad SA = h = 2a$

Ta được:

$R = \sqrt{\left(a\sqrt2\right)^2 + \dfrac{(2a)^2}{4}} = a\sqrt3$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp:

$V = \dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\cdot \pi\cdot \left(a\sqrt3\right)^3 = 4\pi a^3\sqrt3$

$\Rightarrow \dfrac{V}{\pi a^3} = 4\sqrt3$

$2)$ Ta có: $SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABCD))} = \widehat{SBA} = \alpha$

$\Rightarrow SA = AB\tan\alpha = 2a\cdot \sqrt2$

$\Rightarrow SA = h = 2a\sqrt2$

Ta được:

$R = \sqrt{\left(a\sqrt2\right)^2 + \dfrac{\left(2a\sqrt2\right)^2}{4}} = 2a$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp:

$V = \dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\cdot \pi\cdot \left(2a\right)^3 = \dfrac{32\pi a^3}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{V}{\pi a^3} = \dfrac{32}{3}$

$3)$ Ta có:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCA} = 60^\circ$

$\Rightarrow SA = AC.\tan60^\circ = 2a\sqrt2\cdot \sqrt3$

$\Rightarrow SA=  h = 2a\sqrt6$

Ta được:

$R = \sqrt{\left(a\sqrt2\right)^2 + \dfrac{\left(2a\sqrt6\right)^2}{4}}= 2a\sqrt2$

Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp:

$V = \dfrac43\pi R^3 = \dfrac43\cdot \pi\cdot \left(2a\sqrt2\right)^3 = \dfrac{64\pi a^3\sqrt2}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{V}{\pi a^3} = \dfrac{64\sqrt2}{3}$

$4)$ Ta có:

$\begin{cases}CD\perp AD\\SA\perp CD\end{cases}$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow CD\perp SD$

Khi đó:

$\begin{cases}(SCD)\cap (ABCD) = CD\\SD\perp CD\\SD\subset (SCD)\\AD\perp CD\\AD\subset (ABCD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SCD);(ABCD))} = \widehat{SDA} = 45^\circ$

$\Rightarrow SA = AD = 2a$

$\Rightarrow h = 2a$

Ta được:

$R = \sqrt{\left(a\sqrt2\right)^2 + \dfrac{(2a)^2}{4}} = a\sqrt3$

Tương tự câu $1$ ta được:

$\dfrac{V}{\pi a^3} = 4\sqrt3$