Đáp án:

Giải thích các bước giải:

TH1: Tất cả các hộp có số kẹo bằng nhau và bằng 2, khi đó lấy 505505chiếc hộp bất kỳ ta sẽ có tổng số kẹo là 1010.1010.

TH2: Tồn tại hai hộp có số kẹo khác nhau, khi đó ta sắp xếp các hộp thành một hàng ngang sao cho hai hộp đầu tiên không có cùng số kẹo, ký hiệu aiailà số kẹo trong hộp thứ i,i,i=1;2;.....;1010i=1;2;.....;1010.

Xét các số ⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩S1=a1S2=a1+a2+...........S1010=a1+a2+.....+a1010{S1=a1S2=a1+a2+...........S1010=a1+a2+.....+a1010 với  1≤ai≤10101≤ai≤1010

Nếu tồn tại hai số trong S1;S2;....;S1010S1;S2;....;S1010có cùng số dư khi chia cho 1010, giả sử là Si,Sj(i<j)Si,Sj(i<j) thì Sj−Si=(ai+1+......+aj)⋮1010.Sj−Si=(ai+1+......+aj)⋮1010.

Do 1≤Sj−Si≤2019;(Sj−Si)⋮10101≤Sj−Si≤2019;(Sj−Si)⋮1010 nên Sj−Si=1010Sj−Si=1010 hay ai+1+.......+aj=1010.ai+1+.......+aj=1010.

Nếu trong S1;S2;......S1010S1;S2;......S1010 không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho 1010  (1)

Xét 10111011 số S1;S2;......;S1010,a2S1;S2;......;S1010,a2, theo nguyên lý Dirichle tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 1010. Mà S1=a1≠a2,1≤a1,a2≤1010S1=a1≠a2,1≤a1,a2≤1010 nên S1,a2S1,a2 không cùng số dư khi chia cho 1010  (2).

Từ (1) và (2) suy ra tồn tại k∈{2;3;.....;1010}k∈{2;3;.....;1010}sao cho Sk,a2Sk,a2 cùng số dư khi chia cho 1010.

Khi đó: Sk−a2=a1+a3+.......+ak⋮1010Sk−a2=a1+a3+.......+ak⋮1010.

Mà 1≤a1+a3+.......+ak≤2019⇒a1+a3+.....+ak=1010