Giải thích các bước giải:

Với n=1 thì: $2^n+3^n+4^n=2+3+4=9$ là số chính phương

Với n≥2 thì:  $2^n+4^n  ⋮  4$ 

Đặt $2^n+3^n+4^n=t^2$ => $t^2$ lẻ

mà $t^2$ chia 4 dư 1 (do các số chính phương lẻ chia 4 đều dư 1)

=> $3^n$ chia 4 dư 1

Xét $3^n=[4+(-1)]^n$

Theo định luật nhị phân thì khi tách  $[4+(-1)]^n$ ta được tất cả hạng tử đều chia hết cho 4 trừ hạng tử (-1)^n nên:

$3^n=4k+(-1)^n$

Do đó: $n=2k$ để $(-1)^n = 1$ hay $3^n$ chia 4 dư 1

Thay $n=2k$ thì ta có:

$t^2=2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}$

Các số chính phương không chia hết cho 3 khi chia 3 dư 1 nên:

$2^{2k}$ chia 3 dư 1

$4^{2k}$ chia 3 dư 1

Do đó: $t^2$ chia 3 dư 2 

mà các số chính phương chia 3 dư 0 hoặc dư 1 

Nên $t^2$ không là số chính phương

Vậy chỉ có n=1 và $2^n+3^n+4^n=9$ là số chính phương.

@Deawoo

Xin câu trả lời hay nhất 

Với $n=1$ thì:$2n+3n+4n=2+3+4=9$ là số chính phương 

Với $n≥2$ thì:  $2^n+4^n \vdots 4$ 

Đặt: $2n+3n+4n=t2$

⇒$t2$ lẻ

Mà $t2:4 dư 1$ (do các số chính phương lẻ chia $4$ đều dư $1$)

⇒ $3n:4 dư 1 

⇒ $3n=${4+(-1)}$

Theo định luật nhị phân thì khi tách ${4+(-1)} có được tất cả hạng tử đều chia hết cho $4$ trừ hạng tử $(-1)^n$ nên:

$3n=4k+(-1)

⇒ $n=2k$ để cho $(-1)n=1$, hoặc $3n:4 dư 1$

Thay $n=2k$ thì ta được:

$t2=22k+32k+42k$

Vậy các số chính phương không chia hết cho $3$ khi chia $3$ dư $1$ nên:

$22k : 3 dư 1$

$42k : 3 dư 1$

Do vậy: $t2:3 dư 2$ 

⇒ Số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc dư $1$ 

⇒ $t2$ không phải là số chính phương

⇒ $n=1$ và $2n+3n+4n=9$ là số chính phương.