`a)` Gọi $O$ là trung điểm $BC$

Vì $BD$  đường cao của $∆ABC$

`=>∆BDC` vuông tại $D$

`=>DO` là đường trung tuyến $∆BDC$

`=>DO=BO=CO=1/ 2 BC` $(1)$

$\\$

Vì $CE$ là đường cao $∆ABC$

`=>∆BEC` vuông tại $E$

`=>EO` là trung tuyến $∆BEC$

`=>EO=1/2BC` $(2)$

Từ `(1);(2)=>BO=EO=DO=CO=1/2BC`

`=>4` điểm `B;E;D;C` cùng thuộc đường tròn tâm `O` đường kính `BC` (đpcm)

$\\$

`b)` Vì `4` điểm `B;E;D;C` cùng thuộc đường tròn tâm `O` đường kính `BC`

`=>DE` là dây cung không đi qua tâm và `BC` là đường kính của `(O)`

`=>DE<BC` (tính chất đường kính là dây cung lớn nhất)

$\\$

`c)` Tứ giác $BCNM$ có $BM$//$CN$ (cùng $\perp DE$)

`=>BCNM` là hình thang 

$\\$

Gọi $I$ là trung điểm $MN$ `=>IM=IN`

Vì $O$ là trung điểm $BC$

`=>OI` là đường trung bình hình thang $BCNM$

`=>OI`//$BM$

Mà $BM\perp DE$

`=>OI`$\perp DE$

`=>OI` là đường cao $∆ODE$

$\\$

Vì `DO=EO` (câu a)

`=>∆ODE` cân tại $O$

`=>OI` vừa là đường cao và trung tuyến $∆ODE$

`=>I` là trung điểm $DE$

`=>IE=ID`

Ta có: `IM=IN` (c/m trên)

`=>IE+ME=ID+ND`

`=>ME=ND` (đpcm)