Đáp án + Giải thích các bước giải:

Nhận thấy vai trò của p,q,r là như nhau nên

KMTTQ, giả sử: p < q < r

Nếu p = 2, ta tìm được 3 số là: 2;3;5 (ktm)

Nếu p = 3,ta tìm được 3 số là: 3;5;7 (tm)

Nếu p > 3

Bổ đề: Mọi số nguyên tố > 3 bình phương lên thì luôn chia 3 dư 1 thật vậy các số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng: 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k ∈ $Z^{+}$)

Nếu có dạng 3k + 1,ta có: (3k + 1)² = 9k²+ 6k + 1 ≡ 1 (mod 3)

Nếu có dạng 3k + 2 ,ta có:(3k + 2)² = 9k²+ 12k + 4 ≡ 1 (mod 3)

Vậy nếu p  > 3 thì các số q,r > 3 nên khi bình phương lên thì chắc chắn đều dư 1

=>p² + q² + $r^{2}$ ≡ 0 (mod 3)

Vậy ta có (p,q,r) = (3,5,7) và các hoán vị của nó

`#laviken#`

Giả sử : `p < q < r` 

Do `p ; q ; r` là các số nguyên tố nên `p^2+ q^2 + r^2 > 3` 

Nếu `p ; q ; r` $\not\vdots$ `3` 

  ⇒ `p^2 ; q^2 ; r^2` chia `3` dư `1` hoặc `2` 

 Nếu `p^2+ q^2 + r^2` $\not\vdots$ `3`

⇒ `p^2 + q^2 + r^2` là hợp số 

⇒ trái với giả thiết ( loại ) 

⇒ `p` $\not\vdots$ `3` 

Mà `p` là số nguyên tố ⇒ `p = 3` 

                                     ⇒ `q = 5`

                                     ⇒ `r = 7` 

Ta có : `3^2 + 5^2 + 7^2 = 83` ( là số nguyên tố ) ( thỏa mãn )

Vậy `3` số `p ; q ; r` cần tìm là `3 ; 5 ; 7`