`a)` Vì $On\perp Oy$`=>\hat{yOn}=90°`

Vì $Om\perp Ox$`=>\hat{xOm}=90°`

$\\$

Vì `\hat{xOy}` là góc nhọn

`=>\hat{xOy}<90°` $(1)$

Vẽ `Op` là tia đối của tia `Om`

`=>\hat{xOp}+\hat{xOm}=180°` (hai góc kề bù)

`=>\hat{xOp}+90°=180°`

`=>\hat{xOp}=90°` $(2)$

$\\$

Vì hai tia `On;Ox` nằm khác phía so với `Oy`

`=>Oy` nằm giữa hai tia `Ox;On`

`=>\hat{xOn}=\hat{xOy}+\hat{yOn}`

`=>\hat{xOn}=\hat{xOy}+90°>90°` $(3)$

$\\$

Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ là tia `Ox`, từ `(1);(2);(3)` ta có: `\hat{xOy}<\hat{xOp}<\hat{xOn}`

`=>Op` nằm giữa hai tia `Oy` và `On`

`=>\hat{yOp}+\hat{nOp}=\hat{yOn}=90°` $(4)$

$\\$

Trên cùng nửa mặt phẳng có bờ chứa tia `Ox`, vì `\hat{xOy}<\hat{xOp}` (góc nhọn `<90°`)

`=>Oy` nằm giữa hai tia `Ox;Op`

`=>\hat{xOy}+\hat{yOp}=\hat{xO p}=90°` $(5)$

$\\$

Ta có: `\hat{mOn}=3\hat{xOy}`

`\qquad \hat{mOn}+\hat{nO p}=180°` (hai góc kề bù)

`=>3\hat{xOy}+\hat{nO p}=180°` $(6)$

Từ `(4); (5);(6)` ta có:

`\qquad \hat{xOy}+3\hat{xOy}+(\hat{y Op}+\hat{nO p})=90°+180°`

`=>4\hat{xOy}+90°=270°`

`=>4\hat{xOy}=180°=>\hat{xOy}=45°`

Vậy `\hat{xOy}=45°`

$\\$

`b)` Câu a ta có:

`\qquad \hat{yOp}+\hat{nOp}=90°`

`\qquad hat{xOy}+\hat{yOp}=90°`

`\qquad \hat{mOn}+\hat{nO p}=180°`

`=>\hat{xOy}+\hat{mOn}+\hat{yOp}+\hat{nO p}=90°+180°`

`=>\hat{xOy}+\hat{mOn}+90°=270°`

`=>\hat{xOy}+\hat{mOn}=180°` $(7)$

$\\$

`\hat{AOx}=1/2\hat{xOy}=>2\hat{AOx}=\hat{xOy}`

` \hat{mOB}=1/ 2 \hat{mOn}=>2\hat{mOB}=\hat{mOn}`

$\\$

`(7)=>2\hat{AOx}+2\hat{mOB}=180°`

`=>\hat{AOx}+\hat{mOB}=90°`

`=>\hat{AOB}=\hat{AOx}+\hat{xOm}+\hat{mOB}`

`=(\hat{AOx}+\hat{mOB})+\hat{xOm}=90°+90°=180°`

`=>A;O;B` thẳng hàng