`a,ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ `⇒\hat{BAC}=90^o` Hay `\hat{DAE}=90^o`

`HD\botAB` $(gt)$ `⇒\hat{HDA}=\hat{HDB}=90^o`

`HE\botAC` $(gt)$ `⇒\hat{HEA}=\hat{HEC}=90^o`

Xét tứ giác `ADHE` có:

`\hat{DAE}=90^o` `(cmt)`

`\hat{HDA}=90^o` `(cmt)`

`\hat{HEA}=90^o` `(cmt)`

`⇒ADHE` là hình chữ nhật

`⇒AH=DE`

`b,` Gọi giao điểm của `AH` và `DE` là `O`

`AH\botBC` $(gt)$ `⇒\hat{AHB}=\hat{AHC}=90^o`

Hay `\hat{OHI}=\hat{OHK}=90^o`

`ADHE` là hình chữ nhật `(cmt)`

`AH,DE` là hai đường chéo cắt nhau tại `O` (cách vẽ)

`⇒O` là trung điểm của `AH,DE`

`⇒OA=OH=1/2AH,OD=OE=1/2DE`

Mà `AH=DE` `(cmt)`

`⇒OA=OH=OD=OE`

Xét `ΔBDH` vuông tại `D` `(\hat{HDB}=90^o)` có:

`DI` là trung tuyến ứng với cạnh huyền `BH` (`I` là trung điểm của `HB`)

`⇒DI=IH=IB=1/2BH`

Xét `ΔCEH` vuông tại `E` `(\hat{HEC}=90^o)` có:

`EK` là trung tuyến ứng với cạnh huyền `HC` (`K` là trung điểm của `HC`)

`⇒EK=KH=KC=1/2CH`

Xét `ΔODI` và `ΔOHI` có:

`OD=OH` `(cmt)`

`OI`: cạnh chung

`DI=HI` `(cmt)`

`⇒ΔODI=ΔOHI` `(c.c.c)`

`⇒\hat{ODI}=\hat{OHI}=90^o` (hai góc tương ứng)

`⇒DI\botOD`

Hay `DI\botDE`

Xét `ΔOEK` và `ΔOHK` có:

`OE=OH` `(cmt)`

`OK`: cạnh chung

`HK=EK` `(cmt)`

`⇒ΔOEK=ΔOHK` `(c.c.c)`

`⇒\hat{OEK}=\hat{OHK}=90^o` (hai góc tương ứng)

`⇒EK\botOE`

Hay `EK\botDE`

Mà `DI\botDE` `(cmt)`

`⇒EK`$//$`DI` (từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác `DIKE` có: `EK`$//$`DI`

`⇒DIKE` là hình thang

`c,` Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABC` vuông tại `A` $(gt)$ có:

`BC^2=AB^2+AC^2`

Hay `BC^2=6^2+8^2`

`⇔BC^2=36+64=100`

`⇔BC=10` `(cm)` (vì `BC>0`)

Có `BC=BH+HC`

Mà `BH=2DI` `(DI=1/2BH),` `CH=2EK(EK=1/2CH)` 

`⇒BC=2DI+2EK=2(DI+EK)`

Mà `BC=10` `(cm)`

`⇒2(DI+EK)=10`

`⇒DI+EK=5`

⇒ Độ dài đường trung bình của hình thang `DIKE` là `{DI+EK}/{2}=5/2` `(cm)`