a) AC, MC là tiếp tuyến của O ; AC $\cap$ MC = {C}

$\Rightarrow$ AC = MC ( 2 tiếp tuyến cát nhau)

Tương tự : MD = BM

M $\in$ CD

$\Rightarrow$ CD = CM + MD = AC + BD (đpcm)

b) Xét $\triangle$ACN và $\triangle$DBN có:

$\widehat{ANC}$ = $\widehat{DNB}$ ( 2 góc đối đỉnh)

$\widehat{ACN}$ = $\widehat{DBN}$ ( 2 gốc so le trong)

$\widehat{CAN}$ = $\widehat{BDN}$ ( 2 gọc so le trong)

Vậy $\triangle$ACN $\backsim$ $\triangle$DBN (g.g.g)

$\Rightarrow$ $\dfrac{AC}{BD}$ = $\dfrac{AN}{ND}$ ( cặp cạnh tương ứng)

Mà AC = CN ; BD = MD (cmt)

$\Rightarrow$ $\dfrac{CN}{MD}$ = $\dfrac{AN}{ND}$

$\Rightarrow$ MN // AC

c) MN // AC (cmt)

AC $\bot$  AB

$\Rightarrow$ MN $\bot$ AB

Xét  2 $\triangle$ vuông $BIN và BAC có :

$\widehat{B}$ chung

$\Rightarrow$ $\triangle$ vuông BIN $\backsim$ $\triangle$ vuông BAC ( g.g)

$\Rightarrow$ $\dfrac{NI}{AC}$ = $\dfrac{BN}{BC}$ ( cặp cạnh tương ứng) (1)

Lại có: MN // AC

$\Rightarrow$ $\dfrac{MN}{AC}$ = $\dfrac{ND}{AD}$ (2)

Theo câu b đẽ chứng minh: $\triangle$ACN $\backsim$ $\triangle$DBN

$\Rightarrow$$\dfrac{AN}{ND}$ = $\dfrac{NC}{BN}$ $\Rightarrow$ $\dfrac{ND}{AN+ND}$=$\dfrac{BN}{NC+BN}$

$\Rightarrow$ $\dfrac{ND}{AD}$ = $\dfrac{BN}{BC}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow$ $\dfrac{MN}{AC}$ = $\dfrac{NI}{AC}$

$\Rightarrow$ MN = NI

$\Rightarrow$ N là trung điểm MI