`a)` Xét $∆OBD$ và $∆OAI$ có:

`\qquad \hat{OBD}=\hat{OAI}=90°`

`\qquad OB=OA` (vì $O$ là trung điểm $AB$)

`\qquad \hat{BOD}=\hat{AOI}` (hai góc đối đỉnh)

`=>∆OBD=∆OAI` (g-c-g)

`=>OD=OI` (đpcm)

$\\$

`b)` Vì $OD=OI$ (c/m trên)

`\qquad ` $D;O;I$ thẳng hàng

`=>O` là trung điểm $DI$

`=>CO` là trung tuyến $∆CDI$

Mà `\hat{COD}=90°=>CO`$\perp DI$ tại $O$

`=>CO` vừa là đường trung tuyến và đường cao $∆CDI$

`=>∆CDI` cân tại $C$

`=>CD=CI`

Ta có:

`\qquad ``CI=AC+AI`

`=>CD=AC+AI` $(1)$

Vì $∆OBD=∆OAI$ (câu a)

`=> BD=AI` $(2)$

Từ `(1);(2)=>CD=AC+BD` (đpcm)

$\\$

`c)` Vẽ $OE\perp CD$ tại $E$

Vì $CO$ là đường cao $∆CDI$ cân tại $C$

`=>CO` cũng là đường phân giác `\hat{ICD}`

`=>\hat{ACO}=\hat{ECO}`

$\\$

Xét $∆ACO$ và $∆ECO$ có:

`\qquad \hat{CAO}=\hat{CEO}=90°`

`\qquad OC` là cạnh chung 

`\qquad \hat{ACO}=\hat{ECO}` (c/m trên)

`=>∆ACO=∆ECO` (cạnh huyền -góc nhọn)

`=>OA=OE`

Vì `O` là trung điểm $AB$ (gt)

`=>O` là tâm đường tròn đường kính `AB` với bán kính `R=1/2AB=OA=OE`

Vì $OE\perp CD$ tại $E$ (cách vẽ) và `OE=R=1/2AB`

`=>CD` là tiếp tuyến tại $E$ của đường tròn đường kính $AB$ (đpcm)