`1)`

`a)`

Biểu thức `A` xác định `<=> {(3x \ne 0 ),(x + 1 \ne 0 ) ,(2 - 4x \ne 0) :}`

`<=> {(x \ne 0 ),(x  \ne -1 ), (x \ne 1/2) :}`

Vậy ĐKXĐ của biểu thức `A` là `x \ne 0 ; x \ne -1 ; x \ne 1/2`

Ta có :

`A =( (x+2)/(3x) + 2/(x+1) - 3 ) : (2-4x)/(x+1) - (3x+1-x^2)/(3x)`

`=  ((x+2)(x+1) + 2 . 3x - 3 . 3x . (x+1))/(3x (x+1)) . (x+1)/(2-4x) - (3x+1-x^2)/(3x)`

`=  (x^2 + x + 2x+ 2 + 6x - 9x^2 - 9x)/(3x (x+1)) . (x+1)/(2 (1-2x))- (3x+1-x^2)/(3x)`

`= ( -8x^2 +2)/(3x (x+1)) . (x+1)/(2 (1-2x)) - (3x+1-x^2)/(3x)`

` = (2 (-4x^2 +1))/(3x(x+1)) . (x+1)/(2 (1-2x)) - (3x+1-x^2)/(3x)`

`=  (2 (1-2x)(1+2x))/(3x (x+1)) . (x+1)/(2 (1-2x)) - (3x+1-x^2)/(3x)`

` = (1+2x)/(3x)  - (3x+1-x^2)/(3x)`

` = (1 + 2x - 3x - 1 + x^2)/(3x)`

` = (x^2 - x)/(3x)`

`= (x (x-1))/(3x)`

` = (x-1)/3`

Vậy với `x \ne 0 ; x \ne -1 ; x \ne 1/2 ` thì `A = (x-1)/3`

`b)`

Để `A` nhận giá trị nguyên thì `(x-1)/3` nhận giá trị nguyên và `x \in ZZ ; x \ne 0 ; x \ne -1` 

`<=> x- 1 \vdots 3`

`<=> x` có dạng `3k + 1 (k \in ZZ)`

Vậy với `x` có dạng `3k + 1 (k \in ZZ)` thì `A` có giá trị nguyên.

`2)`

Vì `a ; b ; c` là độ dài ba cạnh của tam giác `ABC` nên `a ; b ; c >0`

Ta có :  `a^3 + b^3 + c^3 = 3abc`

`<=> a^3 + b^3 + c^3  - 3abc = 0`

`<=> (a^3 + ab^2 + ac^2 - a^2b - a^2c - abc) + (a^2b + b^3 + bc^2 - ab^2 - abc - b^2c) + (a^2c + b^2c + c^3- abc - ac^2 - bc^2) = 0`

`<=> a (a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) + b (a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) + c (a^2 + b^2 + c^2 -- ab -ac - bc) = 0`

`<=>  (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc) = 0` 

`<=> a + b + c =0` hoặc `a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0`

`+) a + b + c = 0`  (không xảy ra do `a ; b ; c > 0`)

`+) a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0`

`<=> 2a^2 + 2b^2+  2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0`

`<=> (a^2 + b^2 - 2ab) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0`

`<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2=0`

`\forall a ; b ; c` ta có :

`(a-b)^2 \ge 0`

`(b-c)^2 \ge 0`

`(a-c)^2 \ge 0`

`=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2 \ge 0`

Dấu `=` xảy ra `<=> {(a - b= 0 ),(b -c =0 ),(a - c = 0):}`

`<=> {(a=b),(b=c),(a=c):}`

`<=> a= b=c`

`<=> \triangle ABC` là tam giác đều. 

`1, A=((x+2)/(3x)+2/(x+1)-3):(2-4x)/(x+1)-(3x+1-x^2)/(3x)`

`a)` ĐKXĐ: `{(3x\ne0),(x+1\ne0),(2-4x\ne0):}<=>`$\begin{cases}x\ne0\\x\ne-1\\x\ne\dfrac{1}{2}\end{cases}$

Với `x\ne0;x\ne-1;x\ne1/2` thì:

`A=((x+2)(x+1)+2.3x-3.3x(x+1))/(3x(x+1)).(x+1)/(2(1-2x))-(3x+1-x^2)/(3x)`

`A=(x^2+3x+2+6x-9x^2-9x)/(3x).1/(2(1-2x))-(3x+1-x^2)/(3x)`

`A=(2-8x^2)/(3x).1/(2(1-2x))-(3x+1-x^2)/(3x)`

`A=(2(1-2x)(1+2x))/(3x).1/(2(1-2x))-(3x+1-x^2)/(3x)`

`A=(1+2x-3x-1+x^2)/(3x)`

`A=(x^2-x)/(3x)`

`A=(x(x-1))/(3x)`

`A=(x-1)/3`

Vậy `A=(x-1)/3` với `x\ne0;x\ne-1;x\ne1/2`

`b)` Để `A` nguyên

`=> (x-1)/3` nguyên

`=> x-1 \vdots 3`

Do `x \in ZZ`

`=> x-1 \in B(3)`

Khi đó `x-1=3k` (`k\inZZ`) `-> x=3k+1`

(`0;-1;1/2` không có dạng `3k+1` với `k\inZZ` nên `x=3k+1 (AAk\inZZ)(\text{tm})`)

Vậy `x=3k+1 (k\inZZ)` thì A nguyên.