Giải thích các bước giải:

Ta có: 

$(\frac{a}{c}+1).(\frac{b}{a}+1).(\frac{c}{b}+1)=(\frac{a+c}{c}).(\frac{a+b)}{a}).(\frac{b+c}{b})=\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc} $

Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:

Ta có: 

$a+b \geq 2.\sqrt[]{ab}$ $(1)$

$b+c \geq 2.\sqrt[]{bc}$ $(2)$

$a+c \geq 2.\sqrt[]{ac}$  $(3)$

Nhân các vế: $(1).(2).(3)=(a+b)(b+c)(a+c) \geq 8abc$  

$⇒\frac{(a+b)(b+c)(a+c)}{abc} =\frac{8abc}{abc}=8$

->Điều phải chứng minh. 

Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$

Đáp án:

 chứng minh

Giải thích các bước giải:

 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương ta được :

$\frac{a}{c} + 1 ≥ 2\sqrt[]{\frac{a}{c}}$

$\frac{b}{a} + 1 ≥ 2\sqrt[]{\frac{b}{a}}$

$\frac{c}{b} + 1 ≥ 2\sqrt[]{\frac{c}{b}}$

⇒ $( \frac{a}{c} + 1 )×( \frac{b}{a} + 1 )×( \frac{c}{b} + 1 )$ ≥ $2\sqrt[]{\frac{a}{c}}×2\sqrt[]{\frac{b}{a}}×2\sqrt[]{\frac{c}{b}}$

⇔ $( \frac{a}{c} + 1 )×( \frac{b}{a} + 1 )×( \frac{c}{b} + 1 )$ ≥ $8\sqrt[]{\frac{abc}{cab}} = 8$

Dấu "=" xảy ra ⇔ $\frac{a}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{b} = 1$

⇔ $a = b = c$ ( đpcm )