`a)` `AB=15cm; AC=20cm`

Xét $∆ABC$ vuông tại $A$

`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)

`=>BC^2=15^2+20^2=625`

`=>BC=\sqrt{625}=25cm`

$\\$

`\qquad sinB={AC}/{BC}={20}/{25}=4/5`

`=>\hat{B}≈53°8'`

`\qquad \hat{B}+\hat{C}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{C}=90°-\hat{B}≈90°-53°8'≈36°52'`

Vậy: `BC=25cm; \hat{B}≈53°8'; \hat{C}≈36°52'`

$\\$

`b)` Vì $AE$ là phân giác `\hat{BAC}`

`=>{BE}/{CE}={AB}/{AC}={15}/{20}=3/4`

`=>BE=3k;CE=4k\quad (k>0)`

Vì `BE+CE=BC`

`=>3k+4k=25`

`=>7k=25=>k={25}/7` (thỏa mãn)

`=>BE=3k=3. {25}/7={75}/7cm`

`\qquad CE=4k=4 . {25}/7={100}/7cm`

$\\$

Vậy `BE={75}/7cm; CE={100}/7cm`

$\\$

`c)` Xét tứ giác $AMEN$ có:

`\hat{MAN}=\hat{AME}=\hat{ANE}=90°`

`=>AMEN` là hình chữ nhật $(1)$

$\\$

Vì $AE$ là phân giác `\hat{BAC}`

`=>\hat{BAE}=\hat{BAC}/2={90°}/2=45°`

`=>\hat{MAE}=45°`

Xét $∆MAE$ vuông tại $M$ có `\hat{MAE}=45°`

`=>∆MAE` vuông cân tại $M$

`=>EM=AM` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>AMEN` là hình vuông (hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông)

$\\$

Vì $EM\perp AB(gt); CA\perp AB$ (do $∆ABC$ vuông tại $A$)

`=>EM`//$CA$

$\\$

Xét $∆ABC$ có $EM$//$CA$

`=>{EM}/{CA}={BE}/{BC}` (hệ quả định lý Talet)

`=>EM={BE.CA}/{BC}={{75}/7 . 20}/{25}={60}/7cm`

$\\$

Diện tích hình vuông $AMEN$ là:

`S_{AMEN}=EM^2=({60}/7)^2={3600}/{49}cm^2`