Từ giả thiết ta suy ra :

$1^3+2^3+3^3+....+n^3 = (1+2+3+....+n)^2$ $(*)$

+) Xét $n=1$ thì $(*)$ đúng

+) Xét $n=2$ thì $(*)$ đúng

+) Giả sử $n=k$ đúng với $(*)$ Tức là :

$1^3+2^3+....+k^3 = (1+2+...+k)^2$

Ta cần chứng minh $(*)$ đúng vớ $n=k+1$

Thật vậy ta có :

$1^3+2^3+3^3+.....+(k+1)^3$

$ = (1^3+2^3+....+k^3)+(k+1)^3$

$ = (1+2+....+k)^2 + (k+1)^3$ $(1)$

Ta đi chứng minh $2.(k+1).(1+2+.....+k+(k+1)^2 = (k+1)^3$

Ta thấy $2.(k+1).(1+2+3+...+k)+(k+1)^2$

$ = 2.(k+1).\dfrac{(k.(k+1)}{2}$

$ = k.(k+1)^2 + (k+1)^2$

$ = (k+1)^2.(k+1) = (k+1)^3$ ( Đúng )

Khi đó $(1)$ trở thành :

$1^3+2^3+3^3+....+(k+1)^3 = (1+2+...+k)^2+2.(k+1).(1+2+....+k) + (k+1)^2 = (k+1)^3$

$\to đpcm$

Vậy bài toán được chứng minh.

Đáp án + giải thích các bước giải:

Ta xét đẳng thức: `1^3+...+n^3=(1+...+n)^2`

Với `n=1`, ta có: `1^3=1=(1)^2`

Giả sử đẳng thức đúng với `n=k(k>=1) `

`->S_k=1^3+...+k^3=(1+...+k)^2=[(k(k+1))/2]^2`(giả thiết quy nạp)

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với `n=k+1`, hay

`S_{k+1}=1^3+...+k^3+(k+1)^3=(1+...+k+k+1)^2=[((k+1)(k+2))/2]^2`

Thật vậy, ta có:

`S_{k+1}=S_k+(k+1)^3=[(k(k+1))/2]^2+(4(k+1)^3)/4=((k+1)^2[k^2+4(k+1)])/4=((k+1)^2(k+2)^2)/4=[((k+1)(k+2))/2]^2`

Vậy đẳng thức đúng với mọi `n`

Áp dụng đẳng thức vào bài, ta có `\sqrt{1^3+...+n^3}=1+...+n`, từ đó có điều phải chứng minh