`a,` Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABC` vuông tại `C` $(gt)$ có:

`AB^2=AC^2+BC^2`

$\text{Hay}$ `20^2=12^2+BC^2`

`⇔400=144+BC^2`

`⇔BC^2=400-144`

`⇔BC^2=256`

`⇔BC=16` `(cm)` $\text{(vì}$ `BC>0`)`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔACB` vuông tại `C` $(gt)$ `,CH\botAB` $(gt)$ có:

`CH.AB=BC.AC`

$\text{Hay}$ `CH.20=16.12`

`⇔CH.20=192`

`⇔CH=9,6` `(cm)`

`b,` `CH\botAB` $(gt)$ `⇒\hat{CHA}=\hat{CHB}=90^o`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔCHA` vuông tại `C` `(\hat{CHA}=90^o)` `,HD\botAC` $(gt)$ có: `CH^2=CD.CA`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔCHB` vuông tại `C` `(\hat{CHB}=90^o)` `,HE\botBC` $(gt)$ có: `CH^2=CE.CB`

`⇒CD.CA=CE.CB`

`⇒{CD}/{CB}={CE}/{CA}`

Xét `ΔCDE` và `ΔCBA` có:

`{CD}/{CB}={CE}/{CA}` `(cmt)`

`\hat{ACB}`: góc chung

`⇒ΔCDE`$\backsim$`ΔCBA` `(c.g.c)`

`⇒\hat{CDE}=\hat{ABC}` (hai góc tương ứng)

`c,` Gọi giao điểm của `CM` và `DE` là `G`

Xét `ΔABC` vuông tại `C` $(gt)$ có:

`CM` là trung tuyến ứng với cạnh huyền `AB` $(gt)$

`⇒AM=BM=CM=1/2AB`

Xét `ΔACM` có: `AM=CM` `(cmt)`

`⇒ΔACM` cân tại `M`

`⇒\hat{MCA}=\hat{MAC}`

Hay `\hat{GCD}=\hat{BAC}`

Có `\hat{CDE}=\hat{ABC}` `(cmt)`

Hay `\hat{CDG}=\hat{ABC}`

Xét `ΔABC` vuông tại `C` $(gt)$ có:

`\hat{BAC}+\hat{ABC}=90^o` (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Mà `\hat{GCD}=\hat{BAC}` `(cmt),` `\hat{CDG}=\hat{ABC}` `(cmt)`

`⇒\hat{GCD}+\hat{CDG}=90^o`

Xét `ΔCGD` có: `\hat{GCD}+\hat{CDG}=90^o` `(cmt)`

`⇒ΔCGD` vuông tại `G`

`⇒CM\botDE` tại `G`

Xét `ΔABC` có:

`M` là trung điểm của `AB` (`CM` là trung tuyến)

`F` là trung điểm của `AC` $(gt)$

`⇒MF` là đường trung bình của `ΔABC` 

`⇒MF`$//$`BC`

Mà `BC\botAC` (`ΔABC` vuông tại `C`)

`⇒MF\botAC`

Xét `ΔAMC` có:

`MF\botAC` `(cmt)`

`CH\botAM` `(CH\botAB)`

`CH` cắt `FM` tại `I`

`⇒I` là trực tâm `ΔAMC` 

`⇒AI\botMC`

Mà `CM\botDE` `(cmt)`

`⇒DE`$//$`AI` (từ vuông góc đến song song)