Đáp án:

. Xét tứ giác $CEHD$ có :

$CEH$ = $90$ ($BE$ là đường cao )

$CDH$ = $90$ ($AD$ là đường cao )

⇒ $CEH + CDH$ = $90 + 90 = 180$

Mà $CEH$ và $CDH$ là hai góc đối của tứ giác $CEHD$

⇒ $CEHD$ là tứ giác nội tiếp (đpcm)

2. $BE$ là đường cao ( gt )

⇒ $BE$ ⊥ $AB$ ⇒ $BFC$ = $90$

Như vậy $E$ và F$ cùng nhìn $BC$ dưới một góc $90$ ⇒ $E$ và $F$ cùng nằm trên (O) đường kính $AB$

⇒ $4$ điểm $B$, $C$, $E$, $F$ cùng nằm trên một đường tròn (đpcm)

3. Xét $ΔAEH$ và $ΔADC$ có :

$AEH = ADC$ = $90$

$A$ chung

⇒ $ΔAEH ~ ΔADC$

⇒ $AE/AD$ = $AH/AC$

⇒ $AE.AC$ = $AH.AD$

Xét $ΔBEC$ và $ΔADC$ có :

$BEC = ADC$ = $90$

$C$ chung

⇒ $ΔBEC ~ ΔADC$

⇒ $AE/AD = BC/AC$

⇒ $AD.BC = BE.AC$ (đpcm)

4. Có : $C1 = A1$ (cùng phụ góc $ABC$)

C2 = A1 ( hai góc nối tiếp chắn cung $BM$ )

⇒ $C1 = $C2$ ⇒ $CB$ là tia phân giác $HCM$

Lại có : $CB$ ⊥ $HM$

⇒ $Δ$ $CHM$ cân tại $C$

⇒ $CB$ là đường trung trực của $HM$

⇒ $H$ và $M$ đối xứng nhau qua $BC$ (đpcm)

5. Có : Bốn điểm $B$,$C$,$E$,$F$ cùng nằm trên một đường tròn ( câu 2 )

⇒ $C1 = E1$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $BF$) (*)

Có : Tứ giác $CEHD$ nội tiếp (câu 1)

⇒ $C1 = E2$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $HD$ ) (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra :

$E1 = E2$

⇒ $EB$ là tia phân giác $DEF$

Cm tương tự ta được : $FC$ là tia phân giác của $DFE$

Mà $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$

⇒ $H$ là tâm của đường tròn nội tiếp $ΔDEF$

Giải thích các bước giải: