`a)` Vì $H$ là trung điểm 

`|\vec{AB}+\vec{AC}|=|2\vec{AH}|=2AH` (quy tắc trung điểm)

$∆ABC$ đều

`=>\hat{ABC}=60°; AC=BC=AB=a`

`\qquad AH` vừa là trung tuyến và đường cao 

`=>∆ABH` vuông tại $H$

`=>sin\hat{ABH}=sin60° ={AH}/{AB}`

`=>AH=AB sin60°={a\sqrt{3}}/2`

`=>2AH=2. {a\sqrt{3}}/2=a\sqrt{3}`

Vậy: `|\vec{AB}+\vec{AC}|=2AH=a\sqrt{3}`

$\\$

`b)` `|\vec{AB}-\vec{CB}|=|\vec{AB}+\vec{BC}|=|\vec{AC}|=AC=a`

$\\$

`c)` `|\vec{AC}-\vec{BC}|=|\vec{AC}+\vec{CB}|=|\vec{AB}|=AB=a`

$\\$

`d)` Gọi $D$ là trung điểm $AB$

`=>\vec{DB}=1/2 \vec{AB}`

Gọi `E` là điểm đối xứng với `D` qua $H$

`=>H` là trung điểm $DE$

Mà $H$ là trung điểm $BC$ (gt)

`=>BDCE` là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

`=>EB`//$CD$; `EB=CD`

`\qquad 1/2\vec{AB}=\vec{DB}=\vec{CE}`

`=>|1/2\vec{AB}+\vec{AC}|=|\vec{CE}+\vec{AC}|`

`=|\vec{AC}+\vec{CE}|=|\vec{AE}|=AE`

$\\$

Vì $∆ABC$ đều và $D$ là trung điểm $AB$

`=>CD` vừa là trung tuyến và đường cao 

`=>CD`$\perp AB$

$\\$

Xét $∆DBC$ vuông tại $D$

`=>sin\hat{DBC}=sin60°={CD}/{BC}`

`=>CD=BC. sin60°={a\sqrt{3}}/2`

`=>EB=CD={a\sqrt{3}}/2`

$\\$

Vì $CD\perp AB; EB$//$CD$ (c/m trên)

`=>EB`$\perp AB$ 

`=>∆ABE` vuông tại $B$

`=>AE^2=AB^2+EB^2` (định lý Pytago)

`=>AE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{a^2+({a\sqrt{3}}/2)^2}`

`=\sqrt{a^2+3/4 a^2}=\sqrt{{7a^2}/4}={a\sqrt{7}}/2`

`=>|1/2\vec{AB}+\vec{AC}|=AE={a\sqrt{7}}/2`