`a.`

Xét `ΔAHD` và `ΔAED` có:

`hat{AHD}` `=` `hat{AED}` `= 90^0`

`AD` là cạnh huyền chung

`hat{HAD}` `=` `hat{EAD}` ( `AD` là phân gác HAC )

Do đó `ΔAHD = ΔAED` ( cạnh huyền - góc nhọn )

`=> DH = ED` ( `2` cạnh tương ứng )

`b.`

Do `D` là giao điểm của hai đường cao `KE` và `CH` nên `D` là trực tâm của `ΔAKC`

`=> AD ⊥ CK`

Xét `ΔAKC` có `AD` là đường cao đồng thời là đường phân giác

Do đó `ΔAKC` cân tại `A`

`c.`

Xét `ΔAEK` và `ΔAHC` có:

`AK = AC` ( Do `ΔAKC` cân )

`A` chung

Do đó `ΔAEK = ΔAHC` ( cạnh huyền - góc nhọn )

`=>` `hat{HKE}` `=` `hat{ECH}` ( `2` góc tương ứng )

và `KE = HC` ( `2` cạnh tương ứng )

Ta có:

`+) AH = AE` ( Do `ΔAHD = ΔAED` )

`+) AK = AC` ( Do `ΔAKC` cân )

`+) AC = AE + EC`

`+) K = AH + HK`

`=> HK = EC`

Xét `ΔKHE` và `ΔCEH` có:
`HK = EC (cmt)`

`HKE = ECH (cmt)`
`KE = HC (cmt)`

`=> ΔKHE = ΔCEH ( c - g - c )`

`d.`

Áp dụng định lí `Py - ta - go` cho `ΔABC` vuộng tại `A` có: `AB^2 + AC^2 = BC^2 (1)`

Áp dụng định lí `Py - ta - go` cho `ΔAHB` vuộng tại `H` có: `AB^2 = AH^2 + BH^2 (2)`

Áp dụng định lí `Py - ta - go` cho `ΔAHC` vuộng tại `H` có: `AC^2 =  AH^2 + CH^2 (3)`

Từ `(1) , (2) , (3) => BC^2 = 2AH^2 + BH^2 + CH^2`

`=> AH^2 =` $\frac{BC^2 - BH^2 - CH^2}{2}$ `=` $\frac{50^2 - 18^2 - 32^2}{2}$ `= 576 => AH = 24`

Thay vào `(3)` ta tính dược `AC = 30 cm`

`e.`

Khi `hat{BCA}` `= 30^0 =>` `hat{KAC}` `= 60^0`

Xét `ΔAKC` cân tại `A` có `hat(KAC}` `= 60^0`

`=> ΔAKC` đều

Do đó `AK = AC = KC (4)`

Lại có `AD , KE , AP` là các đường cao đồng thời là trung tuyến

`=> E, H , P` lần lượt là trung điểm của `AC , AK , CK`

Xét `ΔAHC` vuông tại `H,` trung tuyến `HE` ứng với cạnh huyền `AC`

`=> HE = 1/2 AC (5)` ( T/c trung tuyến trong tam giác vuông )

Tương tự ta có: `HP = 1/2 AK (6)` và `EP = 1/2 CK (7)`

Từ `(4) , (5) , (6) , (7) => HE = HP = EP`

Vậy `ΔHEP` đều