Gọi `(O)` là đường tròn ngoại tiếp của tam giác `ABC` và `M,N,P` lần lượt là trung điểm của `BC,CA,AB`

Vì tam giác `ABC` nhọn nên `O` nằm trong tam giác `ABC`

Do `\hat{ABC} = 60^o` nên `\hat{MOC} = 60^o`

`=> OA = OB = OC = (MC)/(sin 60^o) = 2`

Vì `O` nằm trong tam giác `ABC` và `OM \bot BC ; ON \bot AC ; OP \bot AB` nên tam giác `ABC` được chia thành `3` tứ giác `ANOP , BMOP , CMON` nội tiếp các đường tròn có đường kính `2` (đường kính đó lần lượt là `OA,OB,OC`)

Áp dụng định lí Dirichle , tồn tại ít nhất một trong `3` tứ giác này chứa ít nhất `5` điểm trong `13` điểm đã cho,giả sử đó là tứ giác `ANOP`

Gọi `E,F,G,H` lần lượt là trung điểm của `NA,AP,PO,OON` và `I` là trung điểm `OA` 

`=> IA = IP = IO = IN = 1`

Khi đó tứ giác `ANOP` được chia thành `4` tứ giác `AEIF,FIGP,IGOH,IHNE` nội tiếp các đường tròn có đường kính `1`

Theo nguyên lí của Dirichle , tồn tại ít nhất một trong `4` tứ giác này chứa ít nhất `2` điểm  trong `5` điểm đã cho , giả sử đó là tứ giác `AEIF` chứa 2 điểm `X,Y` trong số `13` điểm đã cho`

Vì `X,Y` nằm trong tứ giác `AEIF` nên` X,Y` nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này , do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này hay nói cách khác khoảng cách giữa `X,Y` không vượt quá `1`