a) Xét Δ ABC có :

∠ BAC + ∠ ABC + ∠ ACB = 180° ( Tổng 3 góc trong tam giác )

60° + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°

+ ∠ ABC + ∠ ACB = 120°

Vì BD là phân giác ∠ ABC ( Giả thiết )

=> ∠ IBC = `1/2` ∠ ABC

Vì CE là phân giác ∠ ACB ( Giả thiết )

=> ∠ ICB = `1/2` ∠ ACB

Ta có :

∠ ABC + ∠ ACB = 120°

=> `1/2` ( ∠ ABC + ∠ ACB ) = 60°

=> `1/2` . ∠ ABC + `1/2` . ∠ ACB = 60°

=> ∠ IBC + ∠ ICB = 60°

Xét tổng 3 góc trong tam giác IBC => Ta được : ∠ BIC = 180° - 60° = 120°

Vậy ∠ BIC = 120°

b) Vì IF là phân giác ∠ BIC ( Giả thiết )

=> ∠ BIF = `1/2` . ∠ BIC 

=> ∠ BIF = `1/2` . 120°

=> ∠ BIF = 60°

Ta có : ∠ BIC + ∠ BIE = 180° ( Kề bù )

=> 120° + ∠ BIE = 180°

=> ∠ BIE = 60°

Ta thấy ∠ BIF = ∠ BIE ( = 60° )

Xét Δ BIE và Δ BIF có :

∠ EIB = ∠ FBI ( BI là phân giác ∠ ABC )

BI : cạnh chung

∠ BIE= ∠ BIF ( chứng minh trên )

=> Δ BIE = Δ BIF ( g - c -  g )

Vậy Δ BIE = Δ BIF

c) Vì Δ BIE = Δ BIF ( chứng minh câu b )

=> IE = IF ; BE = BF( 2 cạnh tương ứng )

Vậy IE = IF

d) Vì IF là phân giác ∠ BIC ( Giả thiết )

=> ∠ CIF = `1/2` . ∠ BIC 

=> ∠ CIF = `1/2` . 120°

=> ∠ CIF = 60°

Ta có :

∠ BIC + ∠ CID = 180° ( Kề bù )

=> 120° + ∠ CID = 180°

=> ∠ CID = 60°

Ta thấy ∠ CID = ∠ CIF ( = 60° )

Xét Δ IFC và Δ IDC có :

∠ ICF = ∠ ICD ( CI là phân giác ∠ ACB )

IC : cạnh chung

∠ CIF = ∠ CID ( chứng minh trên )

=> Δ IFC = Δ IDC ( g - c - g )

=> CD = FC ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có : BE = BF ( chứng minh câu c )

          CD = FC ( chứng minh trên )

=> Cộng vế với vế ta được

BE + CD = BF + FC

=> BE + CD = BC

Vậy BE + CD = BC