$\text{ Xét hiệu }$

 a⁵+b⁵+c⁵+d⁵-(a+b+c+d) 

$\text{=(a⁵-a)+(b⁵-b)+(c⁵-c)+(d⁵-d)}$

$\text{Ta có p⁵-p chia hết cho 5 (fermat nhỏ)}$

$\text{Chứng minh}$

$\text{   p⁵-p}$

$\text{=p(p⁴-1)}$

$\text{=p(p²-1).(p²+1)}$

$\text{=p(p-1).(p+1).(p²-4)+5.(p-1).p.(p+1)}$

$\text{=(p-2).(p-1).p(p+1).(p+2)+5.(p-1).p.(p+1)}$

Vì p là số nguyên nên p-2;p-1;p;p+1;p+2 là 5 số nguyên liên tiếp 

⇒(p-2).(p-1).p(p+1).(p+2) $\vdots$ 5

$\text{Mà 5.(p-1).p.(p+1)  $\vdots$ 5}$

$\text{Suy ra (p-2).(p-1).p(p+1).(p+2)+5.(p-1).p.(p+1)  $\vdots$ 5}$

$\text{⇔ p⁵-p $\vdots$ 5 (1)}$

$\text{+) Mà p là số nguyên tố lớn hơn 2 nên p là số lẻ}$

$\text{⇒(p-1).(p+1) là tích của hai số chẵn liên tiếp nên}$

$\text{⇔(p-1).(p+1) $\vdots$ 8}$

$\text{⇔p(p-1).(p-1).(p²+1) $\vdots$ 8}$

$\text{⇔p⁵-p $\vdots$ 8 (2)}$

$\text{Từ (1);(2)⇒p⁵-p chia hêt cho 40}$

$\text{Áp dụng ta có}$

$\text{a⁵-a $\vdots$ 40 }$

$\text{b⁵-b $\vdots$ 40}$

$\text{c⁵-c $\vdots$ 40}$

$\text{d⁵-d $\vdots$ 40}$

$\text{Suy ra (a⁵-a)+(b⁵-b)+(c⁵-c)+(d⁵-d) $\vdots$ 40}$

$\text{⇔a⁵+b⁵+c⁵+d⁵-(a+b+c+d) $\vdots$ 40}$

$\text{Mà a⁵+b⁵+c⁵+d⁵ $\vdots$ 40 }$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Xét hiệu

`(a^5+b^5+c^5+d^5)-(a+b+c+d)`

`=(a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)+(d^5-d)`

Ta có

`a^5-a`

`=a(a^4-1)`

`=a(a^2-1)(a^2+1)`

`=a(a-1)(a+1)(a^2+1)`

`=a(a-1)(a+1)(a^2-4+5)`

`=a(a-1)(a+1)(a^2-4)+5a(a-1)(a+1)`

`=a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1)`

Ta có

`a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)` là tích `5` số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại ít nhất tích của hai số chẵn liên tiếp

`=>{(a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots5),(a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots8):}`

Mà `(5,8)=1`

`=>a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)\vdots40`

Ta lại có `a` là số nguyên tố lớn hơn `2`

`=>a` lẻ

`=>(a-1)(a+1)` là tích hai số chẵn liê tiếp

`=>(a-1)(a+1) \vdots 8`

`=>5a(a-1)(a+1) \vdots 40`

`=>a(a-1)(a+1)(a-2)(a+2)+5a(a-1)(a+1) \vdots 40`

`=>(a^5-a) \vdots 40`

Chứng minh tương tự

`=>{((b^5-b) \vdots 40),((c^5-c) \vdots 40),((d^5-d) \vdots 40):}`

`=>(a^5-a)+(b^5-b)+(c^5-c)+(d^5-d) \vdots 40`

`=>(a^5+b^5+c^5+d^5)-(a+b+c+d) \vdots 40`

Mà `(a^5+b^5+c^5+d^5) \vdots 40`

`=>(a+b+c+d) \vdots 40`