`a)` Vì $I$ đối xứng với $H$ qua $AB$ (gt)

`=>AB` là đường trung trực của $HI$

`=>AH=AI; BH=BI`

Xét $∆ABH$ và $∆ABI$ có:

`\qquad AB` là cạnh chung 

`\qquad AH=AI`

`\qquad BH=BI`

`=>∆ABH=∆ABI` (c-c-c) (đpcm)

$\\$

`b)` Vì $K$ đối xứng với $H$ qua $AC$ (gt)

`=>AC` là đường trung trực của $HK$

`=>AH=AK`

Mà `AH=AI` (câu a)

`=>AK=AI`

`=>∆AKI` cân tại $A$ (đpcm)

$\\$

`c)` Vì $AH=AI$  (câu a)

`=>∆AHI` cân tại $A$

Mà $AB$ là đường trung trực của $HI$

`=>AM` là đường trung trực của $HI$

`=>AM` vừa là đường phân giác của `\hat{IAH}`

`=>\hat{IAH}=2\hat{MAH}`

$\\$

Gọi $N$ là giao điểm của $HK$ và $AC$

Vì $AH=AK$ (câu b)

`=>∆AHK` cân tại $A$

Mà $AC$ là đường trung trực của $HK$ (câu b)

`=>AN` là đường trung trực của $HK$

`=>AN` vừa là đường phân giác của `\hat{KAH}`

`=>\hat{KAH}=2\hat{NAH}`

$\\$

Ta có:

`\qquad \hat{KAI}=\hat{KAH}+\hat{IAH}`

`=2\hat{NAH}+2\hat{MAH}`

`=2(\hat{NAH}+\hat{MAH})=2\hat{NAM}=2\hat{BAC}`

Vậy `\hat{KAI}=2\hat{BAC}` (đpcm)