`a)` Vì `AB // EF` (gt)

`⇒ ∠BDF = ∠DFE` (`2` góc so le trong)

Vì `DE // BC` (gt)

`⇒ ∠EDF = ∠DFB` (`2` góc so le trong)

Xét `ΔBDF` và `ΔEFD` có:

`DF` cạnh chung

`∠BDF = ∠DFE` (chứng minh trên)

`∠EDF = ∠DFB` (chứng minh trên)

`⇒ ΔBDF = ΔEFD` `(g.c.g)`

`⇒ BD = EF` (`2` cạnh tương ứng)

Mà `BD = AD` (gt)

`⇒ AD = EF`.

`b)` Vì `AB // EF` (gt)

`⇒ ∠A = ∠FEC` (2 góc đồng vị)

và `∠ADE = ∠EFC` (`2` góc đồng vị)

Xét `ΔADE` và `ΔEFC` có:

`AD = EF` (theo câu b)

`∠A = ∠FEC` (chứng minh trên)

`∠ADE = ∠EFC` (chứng minh trên)

`⇒ ΔADE = ΔEFC` `(g.c.g)`

`c)` Vì `ΔADE = ΔEFC` (chứng minh trên)

`⇒ DE = FC` (`2` cạnh tương ứng)

Vì `DE // BC` (gt)

`⇒ ∠ADE = ∠DBF` (`2` góc đồng vị)

Và `∠BDF = ∠A` (`2` góc đồng vị)

Xét `ΔBDF` và `ΔDAE` có:

`BD = AD` (gt)

`∠A = ∠BDF` (chứng minh trên)

`∠ADE = ∠BDF` (chứng minh trên)

`⇒ ΔBDF = ΔDAE` `(g.c.g)`

`⇒ BF = DE` (`2` cạnh tương ứng) 

Mà `DE = FC` (chứng minh trên)

`⇒ BF = FC`.

`⇒ F` là trung điểm của `BC`.

d) Vì `ΔADE = ΔEFC` (chứng minh trên)    `(1)`

`⇒ AE = EC`. Nên `E` là trung điểm của `AC` (*)

Mà `ΔADE = ΔDBF` (chứng minh trên)      `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra `ΔEFC = ΔBFD`.

`⇒ EC = BD` (.........) (**)

Mà `D` là trung điểm của `AB`.    (***)
Từ (*), (**), (***) suy ra:

`AD + DB = AE + EC`

`⇒ AB = AC`.

`⇒ ΔABC` cân tại `A`.

Xét `ΔBEA` và `ΔBEC` có:

`BE` cạnh chung

`AB = AC` (chứng minh trên)

`AE = EC` (chứng minh trên)

`⇒ ΔBEA = ΔBEC` `(c.c.c)`

`⇒ ∠AEB = ∠CEB` (`2` góc tương ứng)

Mà tổng của chúng = 180 (kề bù)

`⇒ ∠AEB = ∠CEB = 90`.

`⇒ BE ⊥ AC`.  `(3)`

Vì `DE = BF` (chứng minh trên)

`DE = BD = AD` (chứng minh trên)

`⇒ BF = FC = AD = DB`

`⇒ AD + DB = BF + FC`

`⇒ AB = BC`.  `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` suy ra `BE` là trung trực của `AC`.

$\\$

`a,`

Xét `ΔDEF` và `ΔFBD` có :

`DF` chung

`hat{EFD}=hat{BDF}` (Do $EF//AB$)

`hat{EDF}=hat{BFD}` (Do $DE//BC$)

`-> ΔDEF= ΔFBD` (góc - cạnh - góc)

`-> BD = EF` (2 cạnh tương ứng)

mà `AD = BD` (Do `D` là trung điểm của `AB`)

`-> AD = EF (=BD)`

$\\$

`b,`

Do $DE//BC$ (gt)

`-> hat{ADE}=hat{ABC}` (2 góc đồng vị)

Do $EF//AB$ (gt)

`-> hat{ABC}=hat{EFC}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{ADE}=hat{ABC}` (cmt)

`-> hat{ADE}=hat{EFC} (=hat{ABC})`

Xét `ΔADE` và `ΔEFC` có :

`hat{ADE}=hat{EFC}` (cmt)

`AD = EF` (cmt)

`hat{DAE}=hat{FEC}` (Do $EF//AB$)

`-> ΔADE=  ΔEFC` (góc - cạnh - góc)

$\\$

`c,`

Do `ΔADE  = ΔEFC` (cmt)

`-> DE = FC` (2 cạnh tương ứng)

Do `ΔDEF= ΔFBD` (cmt)

`-> BF = DE` (2 cạnh tương ứng)

nà `DE=FC` (cmt)

`-> BF = FC (=DE)`

`-> F` là trung điểm của `BC`

$\\$

`d,`

Xét `ΔAEB` có :

$\begin{cases} AE^2 + BE^2 = 2,7^2 + 3,6^2 = 20,25cm\\AB^2 = 4,5^2 = 20,25cm\end{cases}$

`-> AE^2 + BE^2 =AB^2 (=20,25cm)`

`-> ΔAEB` vuông tại `E` (Pitago đảo)

`-> AE ⊥BE` (1)

Do `ΔADE = ΔEFC` (cmt)

`-> AE = EC` (2 cạnh tương ứng)

`-> E` là trung điểm của `AC` (2)

Từ (1), (2)

`-> BE` là đường trung trực của `AC`