$\\$

`a,`

Xét `ΔABC` vuông tại `A` có :

`AB^2 + AC^2 =BC^2` (Pitago)

`-> AC^2 = BC^2 - AB^2`

`-> AC^2 = 15^2 - 9^2`

`-> AC^2 = 12^2`

`-> AC=12cm`

Xét `ΔABC` có :

`AB=9cm, AC=12cm, BC=15cm`

`-> AB < AC < BC` (Vì `9cm < 12cm < 15cm`)

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`hat{C}<hat{B}<hat{A}`

$\\$

`b,`

Xét `ΔABC` và `ΔADC` có :

`AC` chung

`AB=AD` (Do `A` là trung điểm của `BD`)

`hat{BAC}=hat{DAC}=90^o` (gt)

`-> ΔABC = ΔADC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> BC=DC` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔBCD` cân tại `C`

$\\$

`c,`

Có : `A` là trung điểm của `BD` (gt)

`-> CA` là đường trung tuyến của `ΔBCD`

Có : `K` là trung điểm của `BC` (gt)

`-> DK` là đường trung tuyến của `ΔBCD`

Xét `ΔBCD` có :

`DK` là đường trung tuyến (cmt)

`CA` là đường trung tuyến (cmt)

`DK` cắt `CA` tại `M`

`-> M` là trọng tâm của `ΔBCD`

`-> MC = 2/3 AC`

`-> MC = 2/3 . 12`

`-> MC=8cm`

$\\$

`d,`

Gọi `HQ` là đường trung trực của `AC (H ∈AC)`

`-> HQ⊥AC` và `H` là trung điểm của `AC`

Xét `ΔAHQ` và `ΔCHQ` có :

`hat{AHQ}=hat{CHQ}=90^o` (Do `HQ⊥AC`)

`AH=CH` (Do `H` là trung điểm của `AC`)

`HQ` chung

`-> ΔAHQ = ΔCHQ` (cạnh - góc - cạnh)

`-> CQ = AQ` (2 cạnh tương ứng) (1)

và `hat{QAC}=hat{QCA}` (2 góc tương ứng)

Do `ΔABC =ΔADC` (cmt)

`-> hat{ACB}=hat{ACD}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{ACB}=hat{QCA}`

mà `hat{QAC}=hat{QCA}` (cmt)

`-> hat{ACB}=hat{QAC} (=hat{QCA})`

Ta thấy 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ BC//AQ$

`-> hat{QAD}=hat{ABC}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{ABC}=hat{QDA}` (Do `ΔBCD` cân tại `C`)

`-> hat{QAD}=hat{QDA} (=hat{ABC})`

`-> ΔAQD` cân tại `Q`

`-> DQ = AQ` (2)

Từ (1), (2)

`-> DQ = CQ (=AQ)`

`-> Q` là trung điểm của `DC`

`-> BQ` là đường trung tuyến của `ΔBCD`

mà `M` là trọng tâm của `ΔBCD`

`-> BQ` đi qua `M`

`-> B,M,Q` thẳng hàng

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a / tg ABC vuông tại A --> BC²  = AB² + AC² --> AC² = BC²  - AB² = 15² - 9² = 144 = 12²

 --> AC = 12

Trong tg ABC ta có BC > AC > AB --> ^A > ^B > ^C

 b/ Theo đề ta có A là trung điểm BD và AC vuông góc BD nên AC là trung trực BD --> CB = CD tính chất cách đều của đường trung trực --> tgBCD cân tại C

c/ Trong tg BDC có DK và CA  là trung tuyến cắt nhau tại M nên M là trọng tâm của tg CB

--> CM/CA = 2/3 ( t/c trọng tâm ) --> CM = 2.CA/3 = 2.12/3 = 8 --> CM  = 8 cm

d/ Đường trung trực AC song song BD và qua trung điểm K của BC cắt AC tại Q vì KQ // BC --> tgKCQ cân tại C --> CQ = CK = BC/2 = CD/2 --> Q là trung điểm CD do đó BQ là trung tuyến của tgCBD --> M thuộc BQ --> B, M, Q thẳng hàng