a) $\triangle$ ABC đều $\Rightarrow$ AH là đường trung tuyến của $\triangle$ ABC 

$\Rightarrow$ HC = $\frac{1}{2}$ BC

$\triangle$ AHC có M;N lần lượt là trung điểm của AM ; AC

$\Rightarrow$ MN là đường trung bình của $\triangle$ AHC 

$\Rightarrow$ MN // HC $\Rightarrow$ MN // BC 

MN =  $\frac{1}{2}$ HC mà HC = $\frac{1}{2}$ BC

$\Rightarrow$  MN = $\frac{1}{4}$ BC

$\Rightarrow$  4.MN =BC

b) Ta có $\triangle$ ANK = $\triangle$ CNH ( c.g.c) $\Rightarrow$ AK = HC ; AK // HC

CMTT : AH = CK ; AH // CK

Tứ giác AHCK có 2 cạnh đối song song và bằng nhau

$\Rightarrow$ AHCK là hình bình hành mà $\widehat{AHC}$ = $90^{o}$ 

$\Rightarrow$ AHCK là hình chữ nhật

c) Ta có MN // HC ( CM câu a)

$\Rightarrow$ MN // BH

$\triangle$ BKH có  N là trung điểm của HK ( AHCK là hình chữ nhật) ; MN // BH

$\Rightarrow$ M là trung điểm của BK ( t/c đường trung bình của tam giác)

$\Rightarrow$ B ; M; K thẳng hàng

d) Ta có $\triangle$ ABC đều  $\Rightarrow$ CQ là đường trung tuyến ; là đường cao của $\triangle$ AQC

$\Rightarrow$ $\triangle$ AQC vuông tại Q

Xét $\triangle$ AQC và $\triangle$ HQK có

AQ = HQ ( = AN; CM : ANHQ là hình bình hành)

AC = HK ( AHCK là hình chữ nhật)

QC =QK ( $\triangle$ QKN = $\triangle$ QCN)

$\Rightarrow$ $\triangle$ AQC = $\triangle$ HQK( c.c.c)

$\Rightarrow$ $\widehat{AQC}$ = $\widehat{HQK}$ = $90^{o}$ 

$\Rightarrow$ QK ⊥ QH