Đáp án + giải thích các bước giải:

Ta sẽ chứng minh một bất đẳng thức có tên là Holder: 

`(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)>=(axm+bny+czp)^3`

$\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{x^3}{x^3+y^3+z^3}+\dfrac{m^3}{m^3+n^3+p^3}\\ \ge \dfrac{3axm}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$

$\dfrac{b^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{y^3}{x^3+y^3+z^3}+\dfrac{n^3}{m^3+n^3+p^3}\\ \ge \dfrac{3byn}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$

$\dfrac{c^3}{a^3+b^3+c^3}+\dfrac{z^3}{x^3+y^3+z^3}+\dfrac{p^3}{m^3+n^3+p^3}\\ \ge \dfrac{3czp}{\sqrt[3]{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}}$

Cộng ba bất đẳng thức vế theo vế, có:

`(a^3+b^3+c^3)/(a^3+b^3+c^3)+(x^3+y^3+z^3)/(x^3+y^3+z^3)+(m^3+n^3+p^3)/(m^3+n^3+p^3)>=(3(axm+byn+czp))/\root{3}{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}`

`->1>=(axm+byn+czp)/\root{3}{(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)}`

`->1>=(axm+byn+czp)^3/((a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3))`

`->(axm+byn+czp)^3<=(a^3+b^3+c^3)(x^3+y^3+z^3)(m^3+n^3+p^3)`

Áp dụng bất đẳng thức Holder:

`(a/\sqrt{a^2+8bc}+b/\sqrt{b^2+8ca}+c/\sqrt{c^2+8ab})(a/\sqrt{a^2+8bc}+b/\sqrt{b^2+8ca}+c/\sqrt{c^2+8ab})[a(a^2+8bc)+b(b^2+8ca)+c(c^2+8ab)]>=(\root{3}{a/\sqrt{a^2+8bc} . a/\sqrt{a^2+8bc} . a(a^2+8bc)}+\root{3}{b/\sqrt{b^2+8ca} . b/\sqrt{b^2+8ca} . b(b^2+8ca)}+\root{3}{ c/\sqrt{c^2+8ab} . c/\sqrt{c^2+8ab} . c(c^2+8ab)})^3=(\root{3}{a^3}+\root{3}{b^3}+\root{3}{c^3})^3=(a+b+c)^3`

`->(a/\sqrt{a^2+8bc}+b/\sqrt{b^2+8ca}+c/\sqrt{c^2+8ab})^2 (a^3+b^3+c^3+24abc)>=(a+b+c)^3 ``->(a/\sqrt{a^2+8bc}+b/\sqrt{b^2+8ca}+c/\sqrt{c^2+8ab})^2>=(a+b+c)^3/(a^3+b^3+c^3+24abc)`

Ta cần chứng minh: `(a+b+c)^3/(a^3+b^3+c^3+24abc)>=1`

`->(a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3+24abc`

`->a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)>=a^3+b^3+c^3`

`->3(a+b)(b+c)(c+a)>=24abc`

`->(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc`

mà theo bất đẳng thức Cô-si:

`(a+b)(b+c)(c+a)>=2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc`

`->đpcm`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c`