Bài `9`

Gọi `I` là trung điểm `EC`

`IE = IC , MB = MC`

`MI` là đường trung bình `ΔBEC`

`MI =` $\frac{EB}{2}$ và `MI // EB`

`IE = IC , NE = NF `

`NI` là đường trung bình `ΔEFC`

`NI =` $\frac{FC}{2}$ và `NI // FC`

mà `EB = FC` (gt) `, MI = NI , ΔMIN` cân , $M_{1}$ $= N_{1}$ 

`<=> MI // EB ,` $M_{1}$ $` H_{1}$ ( so le trong )

         `NI // FC ,` $N_{1}$ $= K_{2}$ ( đồng vị ) mà $K_{2}$ $= K_{1}$ ( đối đỉnh ) , $N_{1}$ $= K_{1}$

Vì $M_{1}$ $= N_{1}$ và $N_{1}$ $= K_{1}$ `=> ΔAHK` cân 

Bài `10` 

Vì `O` cách đều `3` cạnh của tam giác nên `OD = OE = OF`

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông `OBF` và tam giác vuông `ODB` ta có:

`B F = √OB^ 2 − O F^ 2`

`BD = √OB^ 2 − O D ^2`

Mà `OF = OD` nên `BF = BD.`

Tương tự áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông `OEC` và tam giác vuông `ODC` suy ra `CE = CD`

`∆BAM` có `AB = BM` nên `∆BAM` là tam giác cân tại `B ⇒ BAM=BMA`

Xét `∆BAM` có `BF = BD, BA = BM` nên theo định lý Ta – lét ta có :

$\frac{BF}{BA}$  `=` $\frac{BD}{BM}$ `⇒ D F // A M ⇒  DFAM` là hình thang

Hình thang `DFAM` có `FAM=AMD` nên `DFAM` là hình thang cân

`⇒ { MF = AD; AF = MD` 

`∆ANC` có  `AC = CN`  nên  `∆ANC`  cân tại  `C ⇒ CAN=CNA`

Xét `∆ANC` có `CE = CD, CA = CN` nên theo định lý Ta – lét ta có :

$\frac{CE}{CA}$  `=` $\frac{CD}{CN}$ `⇒ D E // A N ⇒ DEAN` là hình thang

Hình thang `DEAN` có  `CAN=CNA` nên `DEAN` là hình thang cân

 `⇒{NE=AD AE=ND`

`⇒ MF=NE` 

Xét `∆OEA` và `∆ODN` ta có :

` {OE=OD; OEA=ODN ⇒ ΔOEA = ΔODN ( c − g − c ) ⇒ ON = OA; EA=DN`

 Xét `∆OAF` và `∆OMD` ta có : 

`{AF=MD; OFA=ODM ⇒ ΔOAF = ΔODM ( c − g − c ) ⇒ OA = OM; OF=OD` 

hay `∆MON` cân tại `O`.