`a,` `ABCD` là hình thang cân $(gt)$

`⇒AB`$//$`CD,AC=BD,AD=BC,\hat{ADC}=\hat{BCD}` Hay `\hat{QDC}=\hat{QCD}`

Xét `ΔQCD` có: `\hat{QDC}=\hat{QCD}` `(cmt)`

`⇒ΔQCD` cân tại `Q`

`⇒QC=QD` `⇒Q` thuộc đường trung trực của `CD`

Có:

`QD=QA+AD`

`QC=QB+BC`

Mà `QC=QD` `(cmt),` `BC=AD` `(cmt)`

`⇒QA=QB` `⇒Q` thuộc đường trung trực của `AB`

`b,` Xét `ΔADC` và `ΔBCD`có:

`AD=BC` `(cmt)`

`AC=BD` `(cmt)`

`BC:` cạnh chung

`⇒ΔADC=BCD` `(c.c.c)

`⇒\hat{ACD}=\hat{BDC}` (hai góc tương ứng) Hay `\hat{PCD}=\hat{PDC}`

Xét `ΔPCD` có: `\hat{PCD}=\hat{PDC}` `(cmt)`

`⇒ΔPCD` cân tại `P`

`⇒PC=PD` `⇒P` thuộc trung trực của `CD`

Mà `Q` thuộc trung trực của `CD` `(cmt)`

`⇒PQ` là đường trung trực của `CD`

Có:

`AC=AP+PC`

`BD=BP+PD`

Mà `PC=PD` `(cmt),` `AC=BD` `(cmt)`

`⇒AP=BP` `⇒P` thuộc trung trực của `AB`

Mà `Q` thuộc trung trực của `AB` `(cmt)`

`⇒PQ` là đường trung trực của `AB`

Đáp án:

ΔACD = ΔBDC (c.c.c)

Suy ra 

⇒ Tam giác PCD cân tại P.

do đó PD = PC (1)

Tam giác QCD có hai góc ở đáy bằng nhau C =D nên tam giác QCD cân tại Q

⇒ QD = QC (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ là đường trung trực của CD.

Chứng minh tương tự có PA = PB, QA = QB

Suy ra PQ là đường trung trực của AB.