ĐK: $x

GỌi $A \equiv D = E, B \equiv C = F$. KHi đó, thể tích lăng trụ là

$V = S_{EMP} . EF$

Do $EF = AB$ là cố định nên để thể tích lớn nhất thì $S_{EMP} là lớn nhất.

Ta để ý rằng tam giác EMP là tam giác cân tại E, có EM = EP = x (cm) và MP = 60 -2x (cm)

Khi đó, chiều cao của tam giác ứng với cạnh MP là

$\sqrt{EM^2 - (\dfrac{MP}{2})^2} = \sqrt{x^2 - (30-x)^2} = \sqrt{60x - 900}$

Vậy diện tích của tam giác là

$S_{EMP} = (60-2x)\sqrt{60x-900}$

$S_{EMP} = (60-2x)^2 (60x - 900) = 4(x-30)^2 (60x - 900)$

$= 4(x^2 - 60x + 900)(60x - 900)$

$= (x^2 - 60x + 900)(240x - 3600)$

$= 240x^3 -18000x^2+432000x - 3240000$

Xét hso $y = 240x^3 -18000x^2+432000x - 3240000$

Có $y' = 720x^2 - 36000x + 432000$

Xét ptrinh $y' = 0$

$720x^2 - 36000x + 432000 = 0$

Ptrinh có nghiệm $x = 30$ hoặc $x = 20$

Khi đó, gtri cực đại của hso là $120000$ tại $x = 20$ và gtri cực tiểu là $0$ tại $x = 30$.

Vậy $x = 20$ thì thể tích lăng trụ lớn nhất.