Vì $AD; AE$ lần lượt là phân giác của `\hat{BAH};\hat{CAH}`

`=>\hat{DAH}=\hat{BAD}=\hat{BAH}/2`

`\qquad \hat{EAH}=\hat{EAC}=\hat{CAH}/2`

$\\$

Ta có: `\hat{BAH}=\hat{ACE}` (cùng phụ `\hat{ABC}`)

`\hat{BAE}=\hat{BAH}+\hat{EAH}=\hat{ACE}+\hat{CAH}/2`

` \hat{BEA}=\hat{ACE}+\hat{EAC}`

(`\hat{BEA}` là góc ngoài $∆ACE$)

`=>\hat{BEA}=\hat{ACE}+\hat{CAH}/2`

`=>\hat{BAE}=\hat{BEA}`

`=>∆ABE` cân tại $B$

$\\$

Ta có: `\hat{CAH}=\hat{ABD}` (cùng phụ `\hat{ACB}`)

`\hat{CAD}=\hat{CAH}+\hat{DAH}=\hat{ABD}+\hat{BAH}/2`

`\hat{CDA}=\hat{ABD}+\hat{BAD}` (`\hat{CDA}` là góc ngoài $∆ABD$)

`=>\hat{CDA}=\hat{ABD}+\hat{ABH}/2`

`=>\hat{CAD}=\hat{CDA}`

`=>∆ACD` cân tại $C$

$\\$

Gọi $M;N$ lần lượt là trung điểm $AE;AD$

`=>BM` vừa là trung tuyến, phân giác, trung trực $∆ABE$ cân tại $B$

`\qquad CN` vừa là trung tuyến, phân giác, trung trực $∆ACD$ cân tại $C$

`=>BM;CN` lần lượt là phân giác của `\hat{B};\hat{C}`

Gọi $O$ là giao điểm $BM;CN$

`=>O` là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$

$\\$

Xét $∆ADE$ có:

 $\quad BM; CN$ lần lượt là trung trực của $AE;AD$

`\qquad BM` cắt $CN$ tại $O$

`=>O` là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ADE$

Vậy tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ADE$ (đpcm)

______________

Tâm đường tròn nội tiếp ∆ là giao điểm các đường phân giác trong 

Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ là giao điểm các đường trung trực