Đáp án:

   `AB=10cm;AC=24cm;BH=50/13 cm;HC=288/13 cm;AH=120/13cm`

Giải thích các bước giải:

Giả sử `AB=5a(cm)\text( )AC=12a (cm ) (a>0)`

Áp dụng py-ta-go trong ΔABC vuông tại A ta có:

`**AB^2+AC^2=BC^2`

`<=>(5a)^2+(12a)^2=26^2`

`<=>169a^2=676`

`<=>a^2=4->a=2(do:a>0)`

`->AB=5.2=10(cm);AC=12.2=24(cm)`

Áp dụng hệ thức lượng trong ΔABC vuông tại A đường cao AH ta có:

`**AB^2=HB.BC`

`<=>10^2=BH.26<=>BH=50/13(cm)`

Ta có: `BH+HC=BC`

`<=>HC=BC-HB=26-50/13=288/13(cm)`

`**AH^2=HC.BH`

`<=>AH^2=(50)/(13).(288)/(13)`

`<=>AH^2=(14400)/(13)`

`->AH=120/13(cm)`

 Vậy `AB=10cm;AC=24cm;BH=50/13 cm;HC=288/13 cm;AH=120/13cm`

$\text{Vì AB:AC=5:12 nên  $\frac{AB}{5}$ =$\frac{AC}{12}$ }$

$\text{⇔$\frac{AB²}{5²}$ =$\frac{AC²}{12²}$ }$

$\text{⇔$\frac{AB²}{25}$ =$\frac{AC²}{144}$ }$

$\text{Áp dụng dãy tỷ số bằng nhau ta có}$

$\text{$\frac{AB²}{25}$ =$\frac{AC²}{144}$ =$\frac{AB²+AC²}{169}$(1)}$

$\text{Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông ABC có}$

$\text{AB²+AC²=BC²=26²=676 (2)}$

$\text{Từ (1);(2)}$

$\text{⇒$\frac{AB²}{25}$ =$\frac{AC²}{144}$ =$\frac{676}{169}$=4}$

$\text{⇒$\frac{}{}$ $\left \{ {{AB²=4.25} \atop {AC²=4.144}} \right.$ }$

$\text{⇔AB=10 và AC=24}$

$\text{Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC ,ta có}$

$\text{AB²=BH.BC}$

$\text{⇔10²=BH.26}$

$\text{⇒BH=$\frac{50}{13}$ }$

$\text{Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC ,ta có}$

$\text{AC²=CH.BC}$

$\text{⇔24²=CH.26}$

$\text{⇒CH=$\frac{288}{13}$ }$

$\text{Áp dụng hệ thức lượng ta có }$

$\text{AH²=BH.CH}$

$\text{⇒AH²=$\frac{288}{13}$ .$\frac{50}{13}$ }$

$\text{⇒AH=$\frac{120}{13}$}$

$\text{Vậy}$

$\text{AB=10(cm)}$

$\text{AC=24(cm)}$

$\text{BH=$\frac{50}{13}$}$

$\text{CH=$\frac{288}{13}$ }$

$\text{AH=$\frac{120}{13}$ (cm) }$