Đáp án:

Giải thích các bước giải:

∠HEA=90 độ

∠HDA=90 độ

∠EAD= 90 độ 

⇒ADHE là hình chữ nhật

⇒AH=DE

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác ABC vuông tại A có

$\frac{1}{AH^{2}}$=$\frac{1}{CH^{2}}$+ $\frac{1}{BH^{2}}$=$\frac{1}{4,5^{2}}$+ $\frac{1}{8^{2}}$ 

⇒$\frac{1}{AH^{2}}$= $\frac{337}{5184}$⇒ AH=$\sqrt[2]{\frac{5184}{337} }$ 

Vậy DE=$\sqrt[2]{\frac{5184}{337} }$ 

b) Xét ΔAHB vuông tại H có đường caoHD

⇒AH²=AD.AB

Xét ΔAHC vuông tại H có đường caoHE

⇒AH²=AE.AC

Vậy AD.AB=AE.AC (ĐPCM)

c) Gọi giao của ED và AH là O

∠OHD=∠ODM mà ∠OHD+∠DHM=90 độ

                                    ∠ODM+∠HDM=90 độ

nên ∠DHM=∠HDM ⇒ΔMDH cân

⇒HM=MD c/m tương tự cũng được MB=MD

nên M là trung điểm HB

∠OHE=∠OEH mà ∠OHE+∠NHE=90 độ

                            ∠OEH+∠NEH=90 độ

nên ∠NHE=∠NEH ⇒ΔHNE là tam giác cân

⇒NH=NE c/m tương tự cũng được NE=NC

nên N là trung điểm HC

d) do M là trung điểm BH nên 2MH=BH

⇒MH=2,25cm

N là trung điểm HC nên 2NH=HC

⇒NH=4cm

⇒MN=NH+MH=2,25+4=6,25cm

Trong ΔBDH vuông tại D có MD là đường trung tuyến nên

MD=1/2BH⇒MD=2,25

Trong ΔHEC vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên

EN=1/2CH⇒EN=4cm

Vậy SDENM=$\frac{MD+EN}{2}$.MN= $\frac{2,25+4}{2}$.6,25=2cm ²