`a,` `ABCD` là hình chữ nhật $(gt)$

`⇒\hat{BAD}=\hat{BCD}=90^o,AD=BC=15` `(cm)`

Áp dụng định lý Pytago trong `ΔABD` vuông tại `A` `(\hat{BAD}=90^o)` có:

`BD^2=AB^2+AD^2`

Hay `BD^2=8^2+15^2`

`⇔BD^2=64+225=289`

`⇔BD=17` `(cm)` (vì `BD>0`)

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABD` vuông tại `A` `(\hat{BAD}=90^o),AH\botBD` có: 

`AH.BD=AB.AD`

Hay `AH.17=8.15`

`⇔AH.17=120`

`⇔AH=120/17` `(cm)`

`b,`

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong `ΔABD` vuông tại `A` `(\hat{BAD}=90^o),AH\botBD` có: 

`AH^2=BH.DH`

`AH` cắt `BC` và `DC` tại `I` và `K` $(gt)$

`⇒AK\botBD` tại `H`

`⇒\hat{BHK}=\hat{DHK}=90^o` Hay `\hat{BHI}=90^o`

Xét `ΔBHI` và `ΔBCD` có:

`\hat{BHI}=\hat{BCD}=90^o` 

`\hat{DBC}`: góc chung

`⇒ΔBHI`$\backsim$`ΔBCD` `(g.g)`

`⇒\hat{BIH}=\hat{BDC}` (các góc tương ứng)

Hay `\hat{BIH}=\hat{HDK}`

Xét `ΔBHI` và `ΔKHD` có:

`\hat{BHI}=\hat{DHK}=90^o`

`\hat{BIH}=\hat{HDK}` `(cmt)`

`⇒ΔBHI`$\backsim$`ΔKHD` `(g.g)`

`⇒{HI}/{HD}={HB}/{HK}` (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

`⇒HI.HK=HB.HD`

Mà `AH^2=BH.DH` `(cmt)`

`⇒AH^2=HI.HK`