`a)` Vì $M$ là điểm chính giữa cung nhỏ $AC$ (gt)

`=>sđ\stackrel\frown{AM}=sđ\stackrel\frown{CM}`

Ta có:

`\hat{ABM}=1/2 sđ\stackrel\frown{AM}` (góc nội tiếp chắn cung $AM$)

`\hat{IBM}=1/2 sđ\stackrel\frown{CM}` (góc nội tiếp chắn cung $CM$)

`=>\hat{ABM}=\hat{IBM}`

Vì tia $BM$ nằm giữa hai tia $BA$ và $BI$

`=>BM` là phân giác `\hat{ABI}` $(1)$

Ta có: `\hat{AMB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>`  $BM\perp AI$ tại $M$ $(2)$

Từ `(1);(2)=>BM` vừa là đường phân giác và đường cao $∆ABI$

`=>∆ABI` cân tại $B$

$\\$

`b)` Ta có:

`\hat{ACB}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

`=>AC`$\perp IB$ tại $C$

`=>\hat{KCI}=90°`

Vì $BM\perp AI$ tại $M$ (c/m trên)

`=>\hat{KMI}=90°`

`=>\hat{KCI}+\hat{KMI}=90°+90°=180°`

Mà `\hat{KCI};\hat{KMI}` ở vị trí đối nhau 

`=>MICK` nội tiếp (đpcm)

$\\$

`c)` Xét $∆NIB$ và $∆NAB$ có:

`\qquad NB` là cạnh chung 

`\qquad \hat{NBI}=\hat{NBA}` (do `\hat{IBM}=\hat{ABM}` câu a)

`\qquad IB=AB` (do $∆ABI$ cân tại $B$)

`=>∆NIB=∆NAB` (c-g-c)

`=>\hat{NIB}=\hat{NAB}=90°`

`=>NI`$\perp IB$ $(3)$

Vì $IB=BA$

`=>IB` là bán kính của `(B;BA)` $(4)$

Từ `(3);(4)=>NI` là tiếp tuyến tại $I$ của $(B;BA)$ 

$\\$

Vì $M$ là điểm chính giữa cung $AC$

`=>sđ\stackrel\frown{AM}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AC}`

Ta có: `\hat{AOM}=sđ\stackrel\frown{AM}`(góc ở tâm chắn cung $AM$)

`\qquad \hat{ABC}=1/ 2 sđ\stackrel\frown{AC}=sđ\stackrel\frown{AM}` (góc nội tiếp chắn cung $AC$)

`=>\hat{AOM}=\hat{ABC}`

Mà `\hat{AOM};\hat{ABC}` ở vị trí đồng vị

`=>MO`//$IB$

Vì $NI\perp IB$ (c/m trên)

`=>`$NI\perp MO$ (đpcm)

$\\$

`d)` Xét $∆ABI$ có $K$ là giao điểm hai đường cao $AC$ và $BM$

`=>K` là trực tâm $∆ABI$

`=>IK`$\perp AB$

Ta có: `\hat{IAB}=\hat{IKM}` (cùng phụ `\hat{KIM})`

Tứ giác $BKID$ nội tiếp 

`=>\hat{IKM}=\hat{IDB}` (góc ngoài bằng góc trong đỉnh đối diện)

`=>\hat{IAB}=\hat{IDB}` $(5)$

$\\$

Vì $D\in (B;BA)$

`=>BD=BA=BI`

`=>∆IBD` cân tại $B$

`=>\hat{IBD}=180°-2\hat{IDB}` $(6)$

$∆ABI$ cân tại $B$ 

`=>\hat{IBA}=180°-2\hat{IAB}` $(7)$

Từ `(5);(6);(7)=>\hat{IBD}=\hat{IBA}`

`=>BI` là phân giác của `\hat{ABD}`

Vì $BA=BD$

`=>∆ABD` cân tại $B$

`=>BI` đồng thời là đường cao $∆ABD$

`=>BI`$\perp AD$

Mà $BI\perp AC$ (câu b)

`=>A;C;D` thẳng hàng (đpcm)