Bài 2: 

`x^2-x+m-2=0`   

`a)` Thay `m=4` vào phương trình ta có:

`x^2-x+4-2=0`

`<=>x^2-x+2=0`

`Delta=(-1)^2-4.1.2=-7<0`

`=>` Phương trình vô nghiệm do `Delta<0`

`b)` `x^2-x+m-2=0`

`Delta=(-1)^2-4.1.(m-2)`

`=1-4m+8`

`=-4m+9`

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thì: `Delta>0`

`<=>-4m+9>0`

`<=>-4m>` `-9`

`<=>m<4/9`

Khi đó theo hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=1\quad(1)\\x_1x_2=m-2\quad(2)\end{cases}$

Lại có: `x_1^2+x_2^2=1/4`

`<=>x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=1/4`

`<=>(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=1/4`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=1/4`  `(3)`

Thay `(1)` và `(2)` vào `(3)` ta có:

`1^2-2(m-2)=1/4`

`<=>1-2m+4=1/4`

`<=>-2m=1/4-4-1`

`<=>-2m=-19/4`  

`<=>m=19/8`   (không thoả mãn điều kiện)

Vậy không có giá trị nào của `m` để phương trình có 2 nghiệm phân biệt `x_1;x_2` thoả mãn `x_1^2+x_2^2=1/4`

`c)` Theo phần b) phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi `m<4/9`

Lại có: `x_1^3+x_2^3`   (hằng đẳng thức tổng của hai lập phương)

`=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2)`

`=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2+2x_1x_2)`

`=(x_1+x_2).[(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2)-x_1x_2-2x_1x_2]`

`=(x_1+x_2).[(x_1+x_2)^2-3x_1x_2]`   `(4)`

Thay `(1)` và `(2)` vào `(4)` ta có:

`1.[1^2-3(m-2)]`

`=1(1-3m+6)`

`=1(-3m+7)`

`=-3m+7`

Đáp án:

 $a)$

Với $m=4$ thì phương trình có dạng:

$x^2-x+4-2=0$

$⇔x^2-x+2=0$

$Có a-b+c=0$

$⇒x_{1}=-1;x_{2}=-2$

$b)$

PT:$x^2-x+m-2=0$

$CóΔ=(-1)^2-4(m-2)=1-4m+8=-4m+9$

Để phương trình có 2 nghiệm $x_{1};x_{2}$ phân biệt $

$⇔-4m+9>0$

$⇔m<\dfrac{9}{4}$

Theo hệ thức Viets ta có:

$\left \{ {{x_{1}+x_{2}=1} \\ {x_{1}.x_{2}=m-2}} \right.$ 

Ta có:

$x_{1}^2+x_{2}^2=\dfrac{1}{4}$

$⇔( x_{1}+x_{2})^2-2x_{1}.x_{2}=\dfrac{1}{4}$

$⇔1-2(m-2)=\dfrac{1}{4}$

$⇔1-2m+4=\dfrac{1}{4}$

$⇔m=\dfrac{19}{8}(loại)$