Bài `1`:

Gọi các số có tổng từ `1` đến `n` là: $\overline{aaa}$

Theo đề bài ta có: `1 + 2 + 3 +........+ n =` $\overline{aaa}$

`frac{n × (n + 1)}{2}` = $\overline{aaa}$

Mà $\overline{aaa}$ = `111 × a` = `37 × 3 × a`

`n × (n + 1) = 37 × 3 × a × 2 = 37 × (6 × a)`

Ta có các TH:

TH1: `n = 37` 

`6 × a = 37 + 1 = 38` (loại)

TH2: `n + 1 = 37`

`6 × a = 37 - 1 = 36

`=>` `a = 6` `(TM)`

Vậy ra: `n = 6` và tổng số đó là `666`

Bài `2`:

Gọi số học sinh của lớp 5A ban đầu là `x` (học sinh)

Theo đề bài ta có:

Số học sinh nam `+ 4 = ` Số học sinh nữ `+ 2`

`=>` Số học sinh nam `+ 2` = Số học sinh nữ (Bớt cả hai vế cho `2`)

Số học sinh nam ban đầu chiếm: `47,5% + 2 : a = 50%`

`2 : a = 50% - 47,5% = 2,5%`

`a = 2 : 2,5 × 100 = 80` học sinh

Số học sinh chuyển đến là: `4 + 2 = 6` học sinh

Học kỳ II lớp 5A có số học sinh là: `80 + 6 = 86` học sinh

1 .

Đặt tổng trên là ***.

Ta có : *** = $1+2+3+....+n$

=> *** = $\dfrac{(n+1).n}{2}$

=> * . 111 = $\dfrac{(n+1).n}{2}$

=> $(1 + n) . n = 2 . 111 .a$

=> $(1+n) . n = 222.a$

=> $(1+n) . n = 37.6a$

=> $(1+n) . n = 37.36$

=> $n = 36$

2 .

Số học sinh nữ lớp 5A trong học kỳ 1 là:

100% - 47,5% = 52,5%

Số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là:

$4 - 2 = 2$ (học sinh)

Tỉ số % tương ứng với 2 học sinh là:

52,5% - 47,5% = 5%

Học kỳ 1 lớp 5A có số học sinh là:

$2 : 5 × 100 = 40$ (học sinh)

Học kỳ 2 lớp 5A có số học sinh là:

$40 + 4 + 2 = 46$ (học sinh)

ĐS: $46$ học sinh