a,

$\Delta BDM$ có $DE$ là đường cao, là trung tuyến nên là tam giác cân tại $D$

$\to DM=DB$

$\Delta BNC$ có $DF$ là đường cao, là trung tuyến nên là tam giác cân tại $D$

$\to DN=DC$

Mà $D$ là trung điểm $BC$ nên $DB=DC$

Suy ra $DB=DM=DN=DC$

$\to D$ cách đều bốn điểm $B, M, N, C$

Vậy $B, M, N, C$ cùng thuộc đường tròn $(D;DB)$

b,

$\Delta MBC$ có $E, D$ là trung điểm $MB, BC$ nên là đường trung bình 

$\to DE//MC$

Mà $DE\bot MB$ nên $MC\bot MB$

$\to \widehat{BMC}=90^o$

Vậy $\Delta BMC$ vuông tại $M$

$\Delta NBC$ có $F, D$ là trung điểm $NC, BC$ nên là đường trung bình 

$\to DF//BN$

Mà $DF\bot NC$ nên $BN\bot NC$

$\to \widehat{BNC}=90^o$

Vậy $\Delta BNC$ vuông tại $N$

c,

Xét $\Delta BNC$ và $\Delta BMC$ có:

$\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90^o$

$BC$ chung

$\to$ khi $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ thì $\Delta BMC=\Delta BNC$ (ch-gn)

Vậy khi $\Delta ABC$ cân tại $A$ thì $\Delta BMC=\Delta BNC$