$\\$

$\bullet$

Xét `ΔAMB` và `ΔDMC` có :

`hat{AMB}=hat{DMC}` (2 góc đối đỉnh)

`MA=MD` (gt)

`BM=CM` (Do `M` là trung điểm của `BC`)

`-> ΔAMB = ΔDMC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AB=CD` (2 cạnh tương ứng)

và `hat{MAB}=hat{MDC}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AB//CD$

$\\$

$\bullet$

Xét `ΔAMC` và `ΔDMB` có :

`hat{AMC}=hat{DMB}` (2 góc đối đỉnh)

`BM=CM` (Do `M` là trung điểm của `BC`)

`MA=MD` (gt)

`-> ΔAMC = ΔDMB` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{MAC}=hat{MDB}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ BD//AC$

$\\$

$\bullet$

Do `ΔAMC = ΔDMB` (cmt)

`-> AC=BD` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔABC` và `ΔDCB` có :

`BC` chung

`AB=CD` (cmt)

`AC=BD` (cmt)

`-> ΔABC = ΔDCB` (cạnh - cạnh - cạnh)

$\\$

$\bullet$

Xét `ΔAEM` và `ΔDFM` có :

`AE=DF` (gt)

`MA=MD` (gt)

`hat{MAE}=hat{MDF}` (Do $AC//BD$)

`-> ΔAEM= ΔDFM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{AME}=hat{DMF}` (2 góc tương ứng)

Có : `hat{DMF}+hat{AMF}=180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{AME}=hat{DMF}` (cmt)

`-> hat{AME}+hat{AMF}=180^o`

`-> hat{EMF}=180^o`

`-> hat{EMF}` là góc bẹt

`-> E,M,F` thẳng hàng

`a,` Ta có `M` là trung điểm của `BC` (gt)

 Nên `MB=MC` (t/c)

Xét `ΔAMB` và `ΔCMD` có:

     `MA=MD`

     `^BMA=^CMD`

     `MB=MC`

`Suy ra: ΔABM=ΔCMD(c.g.c)`

`Nên:AB=CD`(2 cạnh tương ứng)

         `^BAM`= `^CDM`(2 góc tương ứng)

Mà `^BAM` và `^CMD` ở vị trí so le trong 

Nên `AB` // `CD`

`b,`

Xét `ΔAMC` và `ΔBMD` có:

      `MA=MD`

      `^AMC=^BMD`

      `MB=MD`

Suy ra: `ΔAMC=ΔBMD`(c.g.c)

Nên:`^CAM=^BDM`(2 góc tương ứng)

Mà `^CAM` và `^BDM` ở vị trí so le trong

Suy ra: `AC`//`BD`(t/c)

`c,` Ta có: `AMC=BMD`(cmt)

Nên `AC=BD`(2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔABC` và `ΔDCB` có:

`AB=CD`

`AC=BD`

`BC:chung`

Nên `ΔABC=ΔDCB`(c.c.c)