`a)` Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

$AP;MP$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $P$

`=>AP=MP`

`\qquad OP` là phân giác của `\hat{AOM}`

`=>\hat{AOM}=2\hat{POM}`

$\\$

$BQ;MQ$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $Q$

`=>BQ=MQ`

`\qquad OQ` là phân giác của `\hat{BOM}`

`=>\hat{BOM}=2\hat{QOM}`

$\\$

Ta có: `\hat{AOM}+\hat{BOM}=180°` (hai góc kề bù)

`=>2\hat{POM}+2\hat{QOM}=180°`

`=>2(\hat{POM}+\hat{QOM})=180°`

`=>2\hat{POQ}=180°`

`=>\hat{POQ}=90°` (đpcm)

$\\$

`c)` $PQ$ là tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$

`=>OM`$\perp PQ$

$\\$

Xét `∆POQ` vuông tại $O$ có $OM\perp PQ$

`=>OM^2=MP.MQ=AP.BQ` (hệ thức lượng)

`=>AP.BQ=R^2` 

$\\$

Xét $∆ABM$ có: 

`MO=AO=BO=1/ 2 AB`

`=>∆ABM` vuông tại $M$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện)

`=>AM`$\perp BE$ tại $M$ $(1)$

$\\$

Vì $AP=MP;OA=OP$

`=>OP` là trung trực của $AM$

`=>AM`$\perp OP$ $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>OP`//$BE$

Xét $∆IBE$ có:

`\qquad O` là trung điểm $AB$

$\quad OP$//$BE$

`=>P` là trung điểm $AE$ ($OP$ là đường trung bình $∆ABE$)

`=>AP=PE`

$\\$

Vì $AP.BQ=R^2$

`=>AP.PQ=PE.BQ=R^2` không đổi khi $M$ thay đổi trên nửa `(O)` (đpcm)

$\\$

`c)` Xét $∆IPQ$ có $AP$//$BQ$ (cùng $\perp AB$)

`=>{IP}/{IB}={AP}/{BQ}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{IP}/{IB}={MP}/{MQ}` (vì $AP=MP;BQ=MQ)$

`=>IM`//$BQ$ (định lý Talet đảo)

Mà $BQ\perp AB$`=>IM`$\perp AB$

`=>MN`$\perp AB$ (đpcm)

$\\$

Xét $∆PAB$ có $HI$//$AP$ (cùng $\perp AB$)

`=>{HI}/{AP}={BH}/{BA}` (hệ quả định lý Talet) 

`=>HI.AB=BH.AP` $(3)$

$\\$

Vì $OP$//$BE$ (câu b)

`=>\hat{HBM}=\hat{AOP}` (hai góc đồng vị)

$\\$

Xét $∆HBM$ và $∆AOP$ có: 

`\qquad hat{HBM}=\hat{AOP}`

`\qquad \hat{MHB}=\hat{PAO}=90°`

`=>∆HBM∽∆AOP` (g-g)

`=>{HM}/{AP}={BH}/{AO}={2BH}/{2AO}={2BH}/{AB}`

`=>HM.AB=2BH.AP` $(4)$

$\\$

Từ `(3);(4)=>HM.AB=2HI.AB`

`=>HM=2HI`

Vì `M;I;H` thẳng hàng 

`=>I` là trung điểm $MH$ (đpcm)

$\\$

`d)` Ta có:

`\qquad (MP-MQ)^2\ge 0`

`=>MP^2+MQ^2\ge 2MP.MQ`

`=>MP+2MP.MQ+MQ^2\ge 2MP.MQ+2MP.MQ`

`=>(MP+MQ)^2\ge 4MP.MQ`

`=>PQ^2\ge 4MP.MQ` (dấu "=" xảy ra khi `MP=MQ`)

Mà `MP.MQ=R^2` (câu b)

`=>PQ^2\ge 4R^2`

`=>PQ\ge 2R`

`S_{OPQ}=1/ 2 OM.PQ\ge 1/ 2 . R. 2R=R^2`

Dấu "=" xảy ra khi `MP=MQ`

`=>M` là trung điểm  $PQ$

Mà $O$ là trung điểm $AB$

$ABQP$ là hình thang (vì $AP$//$BQ$)

`=>OM` là đường trung bình hình thang $ABQP$

`=>OM`//$AP$

Mà $AB\perp AB$`=>OM`$\perp AB$

Vì $O$ là trung điểm $AB$

`=>OM` là trung trực của $AB$`=>MA=MB `

`=>M` là điểm chính giữa cung $AB$

$\\$

Vậy $GTNN$ của `S_{∆OPQ}` bằng `R^2` khi `M` là điểm chính giữa cung $AB$

$\\$

`e)` Gọi $N$ là trung điểm $PQ$

Vì $O$ là trung điểm $AB$

`=>ON` là đường trung bình hình thang $ABQP$

`=>ON`//$AP$

Mà $AB\perp AB$`=>ON`$\perp AB$

$\\$

`ON` là trung tuyến $∆OPQ$ vuông tại $O$

`=>ON=OP=OQ=1/ 2 PQ`

`=>ON` là bán kính đường tròn đường kính $PQ$

Mà $ON\perp AB$

`=>AB` là tiếp tuyến tại $O$ của đường tròn đường kính $PQ$

`=>`Đường tròn đường kính $PQ$ luôn tiếp xúc với đường thẳng $AB$ cố định 

$\\$

`f)` Câu $b$ chứng minh được $OP$ là trung trực của $AM$

`=>`$OP\perp AM$ tại $C$

`=>\hat{OCM}=90°`

Ta lại có: `\hat{ABM}=90°` (câu c)

`=>\hat{CMD}=90°`

`\qquad \hat{COD}=90°` (do `\hat{POQ}=90°`)

`=>\hat{OCM}=\hat{CMD}=\hat{COD}=90°`

`=>MCOD` là hình chữ nhật 

Gọi $J$ là giao điểm $OM$ và $CD$

`=>J` là trung điểm $OM$ và $CD$(tính chất hình chữ nhật)

`=>JM=JC=JO=JD={OM}/2=R/2` 

`=>4` điểm `M;C;O;D` cùng thuộc đường tròn tâm $J$ với $J$ là trung điểm $OM$ và bán kính `R/2`

$\\$

`g)` Ta có $ON\perp AB$ tại $O$ (câu e)

Mà $O$ là trung điểm $AB$

`=>ON` là trung trực của $AB$

`=>N` thuộc đường trung trực của $AB$

$\\$

Ta có: $J$ là trung điểm $OM$

Mà $OM=R$

`=>OJ={OM}/2=R/2`

`=>J` thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính `R/2`