1

Áp dụng Cauchy:

$a^3+1+1 \geq 3.\sqrt[3]{a^3}=3a$

Nên $a^3+2 \geq 3a$

Suy ra $a^3+b^3+c^2 \geq 3(a+b+c)-6=3$

2. 

Áp dụng Cauchy Schwarz có:

$\dfrac{x^3}{y^2}+\dfrac{y^3}{z^2}+\dfrac{z^3}{x^2} \geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{xy^2+yz^2+zx^2}$

Tức cần chứng minh $(x^2+y^2+z^2)^2 \geq (xy^2+yz^2+zx^2)(x+y+z)$

$⇔x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z)+xy^3+zx^3+yz^3$

$⇔(x^2-xz)^2+(y^2-xy)^2+(z^2-yz)^2+x^4+y^4+z^4+x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z)(*)$

Lại có $x^4+y^4+z^4 \geq x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 \geq xyz(x+y+z)$

Nên $(*)$ đúng

Vậy bđt đc cminh

3. Đặt $\dfrac{a}{b}=x;\dfrac{b}{c}=y;\dfrac{c}{a}=z⇒xyz=1$

Khi đó bđt $⇔x^3+y^3+z^3 \geq \dfrac{x}{z}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}$

$⇔x^3+y^3+z^3≥x^2y+y^2z+z^2x$

Áp dụng bđt cauchy

$x^3+x^3+y^3 \geq 3.x^2y$

Tương tự r + vào ta có đpcm

Dấu = các bài xảy ra khi 3 biến = nhau

Giải thích các bước giải:

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức $Holder$:

Ta có:

$(a^3+b^3+c^3).(1+1+1).(1+1+1) \geq (a.1.1+b.1.1+c.1.1)^3 = (a+b+c)^3$ $⇒a^3+b^3+c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9} \geq \frac{3^3}{9}=3 $

->Điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi: $a=b=c=1$

Bài 2: Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:

$⇒\frac{x^3}{y^2} +x \geq 2.\frac{x^2}{y}$  (1)

$⇒\frac{y^3}{z^2} +y \geq 2.\frac{y^2}{z}$  (2)

$⇒\frac{z^3}{x^2} +z \geq 2.\frac{z^2}{x}$  (3)

Cộng các vế trên lại, $(1)+(2)+(3)$:

$⇒\frac{x^3}{y^2} +\frac{y^3}{z^2} +\frac{z^3}{x^2} \geq 2.(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})-(x+y+z)$ (4)

Ta sẽ đi chứng minh: $\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq x+y+z$

Tiếp tục Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:

$⇒\frac{x^2}{y}+y \geq 2x$ (5)

$⇒\frac{y^2}{z}+z \geq 2y$ (6)

$⇒\frac{z^2}{x}+x \geq 2z$ (7)

Cộng các vế trên lại, $(5)+(6)+(7)$:

$⇒\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x} \geq 2.(x+y+z) -(x+y+z) =x+y+z$ 

Vậy từ $(4)⇒2.(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x})-(x+y+z) \geq x+y+z$

$⇒\frac{x^3}{y^2} +\frac{y^3}{z^2} +\frac{z^3}{x^2} \geq x+y+z$ 

->Điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z$

Bài 3: 

Đặt: $x=\frac{a}{b}$ , $y=\frac{b}{c}$ , $z=\frac{c}{a}$  $(x,y,z >0)$

ĐIều cần chứng minh chuyển thành: $x^3+y^3+z^3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$

Áp dụng bất đẳng thức $Co-si$:

$⇒x^3+x^3+y^3 \geq 3.x^2y$ (1)

$⇒y^3+y^3+z^3 \geq 3.y^2z$ (2)

$⇒z^3+z^3+x^3 \geq 3.z^2x$ (3)

Cộng các vế trên lại với nhau, $(1)+(2)+(3):$

$⇒3.(x^3+y^3+z^3) \geq 3.(x^2y+y^2z+z^2x)$

$⇔x^3+y^3+z^3 \geq x^2y+y^2z+z^2x$

->Điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi: $x=y=z ⇔ a=b=c$