a) Vì DAEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{DAB}$ - $\widehat{DEB}$

 Vì ABMN là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{DAB}$ - $\widehat{BNI}$

Do đó$\widehat{DEB}$-$\widehat{BNI}$$\rightarrow$$\widehat{BEI}$+$\widehat{ABC}$=$180^o$

$\Rightarrow$ BEIN là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow$ $\widehat{BEN}$-$\widehat{BIN}$

Vì DAEB là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BEN}$-$\widehat{ADB}$

Do đó $\widehat{BIN}$-$\widehat{ADB}$$\rightarrow$$\widehat{BIM}$+$\widehat{MDB}$=$180^o$

$\Rightarrow$ BDMI là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow$B, D, M, I cũng thuộc 1 đường tròn.

b) Vì ABNM là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{BAE}$ = $\widehat{BMI}$ (1)

Vì DAEB và DMIB là các tứ giác nội tiếp nên

$\widehat{ABE}$=$\widehat{ADF}$ và $\widehat{MBI}$=$\widehat{ADE}$

$\Rightarrow$$\widehat{ABE}$=$\widehat{MBI}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$$\triangle$BAE $\backsim$ $\triangle$BMI (g.g)

$\Rightarrow$$\dfrac{BE}{BI}$=$\dfrac{AE}{MI}$$\Rightarrow$ MI . BE = BI . AE

c) Ta chứng minh AD . BE = AE . BD

Vì CD là tiếp tuyến của O nên $\widehat{CDA}$ = $\widehat{CBD}$

$\Rightarrow$ $\triangle$CDA $\backsim$ $\triangle$CBD (g.g)

$\Rightarrow$ $\dfrac{DA}{BD}$=$\dfrac{CD}{CB}$

Chứng minh tương tự ta có $\Rightarrow$ $\dfrac{EA}{EB}$=$\dfrac{CE}{CB}$

Mà theo tính chất tiếp tuyến ta có

CD = CE nên $\dfrac{DA}{BD}$=$\dfrac{EA}{EB}$ $\Rightarrow$ AD . BE = AE . BD

Ta chứng minh DE đi qua điểm K là giao điểm hai tiếp tuyến tại A và B của O

Gọi $\widehat{K1}$ , $\widehat{K2}$ lần lượt là giao điểm DE với tiếp tuyến của O tại A và B

Khi đó

$\widehat{K_{1}AE}$ = $\widehat{K_{1}DA}$ $\Rightarrow$$\triangle$$K_{1}AE$$\backsim$$\triangle$$K_{1}DA$ (g.g)

$\Rightarrow$$\dfrac{AE}{AD}$=$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}A}$=$\dfrac{K_{1}A}{K_{1}D}$

$\Rightarrow$($\dfrac{AE}{AD}$)$^{2}$ =$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}A}$.$\dfrac{K_{1}A}{K_{1}D}$=$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}D}$.

Chứng minh tương tự ta có:

($\dfrac{BE}{BD}$)$^{2}$ =$\dfrac{K_{2}E}{K_{2}D}$

Mà AD.BE=AE.BD$\Rightarrow$$\dfrac{AE}{AD}$=$\dfrac{BE}{BD}$

$\longrightarrow$$\dfrac{K_{1}E}{K_{1}D}$=$\dfrac{K_{2}E}{K_{2}D}$.

Do $K_{1}$ và $K_{2}$  đều nằm ngoài đoạn DF, nên $K_{1}$ và $K_{2}$ chia ngoài đoạn DF theo các tỷ số bằng nhau $\Rightarrow$$K_{1}$ $\equiv$ $K_{2}$ $\equiv$ K

Vậy DE luôn đi qua điểm K cố định