`a)` Ta có: $OA=OB=R$

`=>∆OAB` cân tại $O$

$AB$ là trung trực của $OM$ tại $H$ (gt)

`=>OM`$\perp AB$ tại $H$ `=>OH`$\perp AB$

`=>OH` vừa là đường cao và trung tuyến $∆OAB$ cân

`=>H` là trung điểm $AB$ (đpcm)

$\\$

Vì $AB$ là đường trung trực của $OM$

`=>MA=OA`

Mà $OA=OM=R$

`=>OA=OM=MA=R`

`=>∆OAM` đều (đpcm)

$\\$

`b)` Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Vì hai tiếp tuyến `CA;CB` cắt nhau tại $C$

`=>CA=CB`

Vì $OA=OB=R$

`=>CO` là đường trung trực của $AB$

`=>CO`$\perp AB$

Mà $OM\perp AB$ (câu a)

`=>O;M;C` thẳng hàng 

$\\$

$∆OAM$ đều (câu a)

`=>\hat{AOM}=60°=>\hat{AOH}=60°`

Xét $∆OAH$ vuông tại $H$

`=>sin\hat{AOH}=sin60°={AH}/{OA}`

`=>AH=OA.sin60°={R\sqrt{3}}/2`

$\\$

`\qquad ∆OAC` vuông tại $A$

`=>tan\hat{AOC}=tan60°={AC}/{OA}`

`=>AC=OA tan60°=R\sqrt{3}`

$\\$

`c)` $CA;CB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C$

`=>CO` là phân giác của `\hat{ACB}` (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

`=>\hat{ACO}=\hat{BCO}` $(1)$

$\\$

Vì $ON\perp OA; AC\perp OA$

`=>ON`//$AC$

`=>\hat{ACO}=\hat{NOC}` (hai góc so le trong) $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>\hat{BCO}=\hat{NOC}`

`=>\hat{NCO}=\hat{NOC}`

`=>∆NCO` cân tại $N$

$\\$

Xét $∆ACO$ vuông tại $A$

`=>cos\hat{AOC}=cos60°={OA}/{OC}`

`=>OC=OA : cos60°=R: 1/ 2 =2R`

`=>CM=OC-OM=2R-R=R`

`=>CM=OM`

Vì $C;M;O$ thẳng hàng nên $M$ là trung điểm $OC$

`=>NM` vừa là trung tuyến và đường cao $∆NCO$ cân tại $N$

`=>NM`$\perp OM$

`=>MN` là tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$ (đpcm)

$\\$

Vì $H$ là trung điểm $AB$ (câu a)

`=>AB=2AH=2. {R\sqrt{3}}/2=R\sqrt{3}`

Mà $BC=AC=R\sqrt{3}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

`=>AB=BC=AC`

`=>∆ABC` đều 

$\\$

Vì $∆OAM$ đều `=>MA=OA=R`

`\qquad CO` là trung trực $AB$ (câu b) và `M\in CO`

`=>MB=MA=R`

Mà `MC=R` (c/m trên)

`=>MA=MB=MC`

`=>M` là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆ABC$

Mà $∆ABC$ đều (c/m trên)

`=>M` cũng là tâm đường tròn nội tiếp $∆ABC$

(Tính chất ∆ đều: trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp trùng nhau)

$\\$

`d)`$AB$ là trung trực của $OM$ tại $H$(gt)

`=>H` là trung điểm $OM$

`=>OH=HM`

$\\$

$H$ là trung điểm $AB$ (câu a)

`=>HA=HB`

$\\$

Xét $∆ACO$ vuông tại $A$ đường cao $AH$

`=>AH^2=OH.HC` (hệ thức lượng)

`=>AH^2=HM.HC` (vì `OH=HM)`

$\\$

Xét $∆AOI$ vuông tại $O$ đường cao $OH$

`=>OH^2=HI.HA` (hệ thức lượng)

`=>OH^2=HI.HB` (vì $HA=HB$)

$\\$

Xét $∆OAH$ vuông tại $H$

`=>OH^2+AH^2=OA^2` (định lý Pytago)

`=>HI.HB+HM.HC=R^2` (đpcm)