$\text{Xét tam giác ABD có }$

$\text{+) M là trung điểm AB }$

$\text{+)N là trung điểm BD }$

$\text{Suy ra: MN là trung điểm của tam giác ABD }$

$\text{⇒MN//AD }$

$\text{Xét tam giác BDC có }$

$\text{+) P là trung điểm AC }$

$\text{+)N là trung điểm BD }$

$\text{Suy ra: PN là trung điểm của tam giác BD }$

$\text{⇒PN//BC }$

$\text{Xét tam giác ACD có }$

$\text{+) P là trung điểm DC }$

$\text{+)Q là trung điểm AC }$

$\text{Suy ra: PQ là trung điểm của tam giác ACD }$

$\text{⇒PQ//AC }$

$\text{Xét tam giác ABC có }$

$\text{+) Q là trung điểm AC }$

$\text{+)M là trung điểm BA }$

$\text{Suy ra: MQ là trung điểm của tam giác ABC }$

$\text{⇒MQ//BC }$

$\text{Mặt khác Vì C+D=90 nên AD vuông góc với BC }$

$\text{Mà MN//AD và MQ//BC }$

$\text{Nên MN vuông góc với MQ  (1) }$

$\text{Chứng minh tương tự }$

$\text{MQ vuông góc với PQ  (2) }$

$\text{QP vuông góc với NP   (3) }$

$\text{MN vuông góc với NP (4) }$

$\text{Từ (1);(2);(3);(4) ⇒ tứ giác MNPQ là hình chữ nhật }$

$\text{⇒M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn }$

Tứ giác MNPQ là hbh vì:

MN//AD ,MN=1/2 AD

PQ//AD.  ,PQ=1/2 AD

Mặt khác :

góc MQA=BCA

 góc AQP= ACP+CPQ ( góc ngoài tầm giác)

góc CPQ=ADC 

⇒gocs MPQ=MQA+AQP=BCA+ACD=C+D=90°

⇒ Tứ giác MNPQ là là hcn nên 4 điểm M,N,P,Q cùng nằm trên 1 đg tròn